On the asymptotic character of the solutions of certain linear differential equations containing a parameter. (Q1491973)

Der Zweck der vorliegenden Arbeit ist der, den asymptotischen Charakter der Lösungen linearer Differentialgleichungen von der Form \[ \frac{d^n z}{dx^n} + \varrho a_{n-1} (x, \varrho)\;\frac{d^{n-1}z}{dx^{n-1}} + \cdots + \varrho^n a_0 (x,\varrho)z =0 \] für große \(|\varrho|\) zu entwickeln. Die Funktionen \(a_i(x, \varrho)\) sind in der Umgebung von \(\varrho = \infty\) analytische Funktionen des komplexen Parameters \(\varrho\) und besitzen Ableitungen jeder Ordnung nach der reellen Veränderlichen \(x\). Schlesinger (Math. Ann. 63, 277-300, 1907) hat diese asymptotischen Eigenschaften für \(\lim \varrho = \infty\) in bestimmter Richtung arg\,\(\varrho =\alpha\) nachgewiesen; in der vorliegenden Arbeit werden ähnliche Eigenschaften für eine Region \(\theta \leqq \text{arg\,} \varrho \leqq \psi\) entwickelt, aber nach einer anderen Methode. Bereits im Jahre 1837 behandelte \textit{Liouville} (Journ. de Math. (1) 2, 16, \S\ 3) den wichtigen Sonderfall \[ \frac{d^2 z}{dx^2} +[\varrho^2 + g (z)] z = 0, \] wenn \(\varrho\) reell ist, als das erste Problem der betrachteten Art; die vom Verf. angewandte Methode ist ganz ähnlicher Natur. Von den hier gewonnenen Resultaten soll später eine Anwendung auf die Randwert- und Entwicklungsprobleme gemacht werden (vgl. das folgende Referat (JFM 38.0386.02)).