Boundary value and expansion problems of ordinary linear differential equations. (Q1491974)

Es seien \(p_2 (x), p_3(x), \dots, p_n(x)\) Funktionen der reellen Veränderlichen \(x\) in dem geschlossenen Intervall \((\alpha, b),\) welche mit ihren Ableitungen jeder Ordnung stetig sind; ferner sei \[ L(z) \equiv \frac{d^n z}{dx^n} + p_2 (x)\;\frac{d^{n-2}z}{dx^{n-2}} + \cdots + p_n (x) z \] ein homogener linearer Differentialausdruck und \[ M(z)\equiv (-1 )^n \frac{d^nz}{dx^n} + (-1)^{n-2}\;\frac{d^{n-2}}{dx^{n-2}} [p_2 (x) z] +\cdots+ p_n (x) z \] der adjungierte Ausdruck. Mit der in \(u\) linearen Differentialgleichung \(n\)-ter Ordnung (1) \(L(u) + \lambda u = 0\) bei \(n\) linearen homogenen Bedingungen in \(u(a), u'(a), \dots, u^{(n-1)} (a), u(b), u'(b), \dots, u^{(n-1)} (b):\) \[ (2)\qquad W_1(u) = 0,\;W_2(u) = 0, \dots, \;W_n(u) = 0 \] wird die adjungierte Gleichung (3) \(M(v) + \lambda v = 0\) nebst \(n\) adjungierten Bedingungen \[ (4) \qquad V_1(v) = 0,\;V_2 (v) = 0, \dots , \;V_n (v) = 0 \] verbunden. Fúr gewisse charakteristische Werte des komplexen Parameters \(\lambda\) existiert eine von Null verschiedene Lösung \(u (x)\) von (1), (2) oder \(v (x)\) von (3), (4). Diese Werte sind in beiden Fällen dieselben: sie mögen \(\lambda_1, \lambda_2, \dots \) mit den entsprechenden Lösungen \(u_1(x), u_2 (x),\dots ;\;v_1 (x), v_2 (x), \dots \) sein. Diese Funktionen \(u_i (x),\;v_i(x)\) haben die Eigenschaft, daß \[ \int_a^b u_i (x) v_j (x) dx =0 \quad (i\neq j) \] ist. Diese Eigenschaft führt zu der formalen Entwicklung einer gegebenen Funktion \(f(z)\) im Intervall \((a, b):\) \[ (5) \qquad f(x) \sim \sum_{i=1}^\infty\;\frac{\int_a^b f(x) v_i (x) dx}{\int_a^b u_i (x) v_i (x) dx} \cdot u_i (x). \] Wie sind nun die charakteristischen Werte in der \(\lambda\)-Ebene verteilt? Welches ist die Natur der Lösungen \(u_i (x), v_i(x)?\) In welchem Sinne stellt die Entwicklung (5) die Funktion \(f(x)\) dar? Das sind die Fragen, die in der vorliegenden Arbeit behandelt werden. Verf. beginnt mit der Ableitung der formalen Eigenschaften des Randwertproblems (\S\ 1) und des Ausdruckes für die Summe von \(n\) Gliedern der Entwicklung (5) mittels eines Konturenintegrals (\S\ 2). Dann folgt die genauere Untersuchung, welche auf gewissen die asymptotische Natur der Lösungen von (1) und (3) für große \(|\lambda|\) betreffenden Tatsachen beruht; diese Tatsaehen werden als Anwendung einer früheren Abhandlung (vgl. das vorhergehende Referat (JFM 39.0386.01)) abgeleitet (\S\ 3). Auf diese Weise wird die Verteilung der Zahlen \(\lambda_i\) und die Natur der Entwicklung ermittelt (\S\S\ 4 und 5). Endlich wird das Konturenintegral ausgewertet und das Darstellungstheorem bewiesen (\S\ 6). Die Entwicklung verhält sich ähnlich wie eine \textit{Fourier}sche Reihe außer in der Nähe von \(x = a\) und \(x = b.\) Spezielle Probleme dieser Art sind bereits von anderen Autoren (zuerst von \textit{Liouville}, Journ. de Math. (1) 3 (1838), 561 ff.) behandelt worden; die Literatur darüber findet man in der Arbeit angegeben.