Sur les différences réciproques. (Q1491988)

Die von \textit{Thiele} (Kjöbenhavn Overs. 153-171, 1906; F. d. M. 37, 254, JFM 37.0254.04 u. 292, JFM 37.0292.01) eingeführte ``reziproke Differenz'' \(\varrho^n[\varrho (x)]\) oder \(\varrho^n (x_0, x_1, \dots, x_n)\) wird definiert durch die Rekursionsformel: \[ \varrho^{n+1} (x_0, x_1, \dots, x_{n+1}) =\frac{x_{n+1}-x_n}{\varrho^n(x_0, x_1, \dots, x_{n-1}, x_{n+1})-\varrho^n(x_0,x_1,\dots, x_n)} + \varrho^{n-1}(x_0, x_1, \dots, x_{n-1}); \] besonders interessant ist der Fall, daß sämtliche Argumente zusammenfallen. Die reziproken Differenzen lassen sich explizit als Quotienten zweier Determinanten darstellen. Die reziproken Differenzen gerader Ordnung besitzen folgende wichtige Eigenschaft: \[ \varrho^{2n} \left[\frac{\alpha +\beta\varphi(x)}{\gamma+\delta\varphi(x)}\right] = \frac{\alpha +\beta \varrho^{2n} [\varphi(x)]}{\gamma+\delta \varrho^{2n} [\varphi(x)]}. \] Für die reziproken Differenzen ungerader Ordnung haben die Nennerdeterminanten eine bemerkenswerte Eigenschaft, welche durch Verbindung mit der \textit{Newton}schen ``dividierten Differenz'' und der alternierenden Funktion von \(x_0, x_1, \dots ,x_{2n+1}\) zu der Bildung einer Reihe projektiver Invarianten führt, deren erste, abgesehen von einer Konstante, mit der ``\textit{Schwarz}schen Ableitung'' identisch ist.