Sur les solutions périodiques de certaines équations fonctionnelles. -- Sur les solutions périodiques d'une équation fonctionnelle linéaire. (Q1491989)

In der ersten Note zeigt der Verf.; daß die lineare Differenzengleichung \[ (1) \qquad y_{x+na} + a_1 y_{x+(n-1)a} + \cdots + a_n y_x =\varphi(x), \] in der die \(a_i\) Konstanten sind und \(\varphi(x)\) die zu \(a\) inkommensurable Periode \(b\) hat, stets eine und nur eine periodische Lösung von der Periode \(b\) besitzt, wenn die charakteristische Gleichung keine Wurzel vom absoluten Betrage 1 hat. In der zweiten Note stellt Verf, über die Differenzengleichung \[ (2) \quad y_{x+a}-y_x= \varphi (x)\quad (\varphi(x) \text{ stetig u. von Periode }b), \] auf welche das oben behandelte Problem in dem Falle führt, wo eine Wurzel der charakteristischen Gleichung den Modul 1 hat, folgende zwei Sätze auf: 1. Wenn eine beschränkte Lösung der Gleichung (2) existiert, welche in dem Intervall \(-\infty\) bis \(+\infty\) gleichmäßig stetig ist, so existiert eine periodische Lösung von der Periode \(b\). 2. In allen Fällen, wo die Lösungen von (2) beschränkt sind, ist das unbestimmte Integral jeder Lösung \(y_x\) von der Form \(U(x) + V(x) + kx\) \((k\) Konstante), wo \(U\) eine Funktion von der Periode \(a, V\) eine Funktion von der Periode \(b\) ist.