Remarques sur l'équation de \textit{Fredholm}. (Q1492016)

\textit{Fredholm} hatte für solche Kerne, die für \(s = t\) unendlich werden wie \((s - t)^{-a},\) seine Theorie, dadurch anwendbar gemacht, daß er zu einem hinreichend oft ``iterierten Kerne'' überging, der endlich ist. Man hat verschiedene Versuche gemacht, aus der \textit{Fredholm}schen Formel für stetige Kerne durch eine unmittelbare Modifikation einfacherer Natur eine solche herzustellen, die auch bei \(\alpha > 0\) konvergent bleibt. (\textit{Hilbert}, der in seiner 1. Mitt. am Schluß\ bemerkt, daß man in den Auflösungsformeln \(f(s,s)\) überall durch 0 ersetzen muß, um sie für \(\alpha< \frac 12\) konvergent zu machen; \textit{Lalesco}, F. d. M. 38, 383, 1907, JFM 38.0383.01, der \(\frac 12 < \alpha < \frac p{p+1}, p\) ganzzahlig erledigt. Verf. bemerkt in dieser Richtung, daß für \(\alpha < \frac p{p+1}\) eine Erweiterung von Zähler und Nenner mit dem Faktor \[ e^{- \frac{\lambda\varphi_1}1- \frac{\lambda^2\varphi_2}2 -\cdots - \frac{\lambda^p\varphi_p}p} \] das Gewünschte leistet, wo \[ \varphi_n = (-1)^{n+1} \int f(x_1,x_2) f(x_2,x_3) \dots f(x_{n-1},x_n) f(x_n, x_1) dx_1 \dots dx_n \] bedeutet.