Über eine Methode, die partielle Differentialgleichung \(\varDelta u = \) Constans numerisch zu integrieren. (Q1492057)

Die partielle Differentiatgleichung \(\partial^2 u/\partial x^2 + \partial^2 u/\partial y^2 =\) const., auf welche die Bestimmung der Torsion eines zylindrischen Stabes führt, wird numerisch integriert für das spezielle Beispiel, daß der Querschnitt ein aus fünf gleichen Quadraten gebildetes Kreuz ist. Aus Symmetriegründen kann man sich darauf beschränken, den achten Teil des Querschnitts, d. h. ein Trapez, zu betrachten. Das Verfahren besteht darin, daß dem Querschnitt ein Netz von Quadraten eingezeichnet wird. Die Differentialgleichung wird durch eine Differenzengleichung ersetzt, in der die Differenzen aufeinander folgender Werte von \(x\) und \(y\) gleich der Seite der quadratischen Maschen des Netzes sind. Die Differenzengleichung liefert lineare Gleichungen zwischen den Werten von \(u\) in den verschiedenen Netzpunkten, und zwar erhält man je eine Gleichung für jeden im Innern des Querschnitts gelegenen Netzpunkt, so daß sich die Werte von \(u\) in den Netzpunkten daraus bestimmen lassen. Mit der Dichtigkeit des Netzes läßt sich die Genauigkeit der Interpolation beliebig steigern.