Nouvelles remarques sur les groupes continus. (Q1492059)

Fortsetzung der F. d. M. 32, 373, 1901 (JFM 32.0373.01) besprochenen Arbeit. In \(\S\) 1 werden früher gewonnene Ergebnisse rekapituliert. Versteht man unter \(U, V, \dots\) infinitesimale Transformationen einer \(r\)-gliedrigen Gruppe, so kann die zugehörige kanonische Parametergruppe durch eine Gleichung von der Form: \(e^U e^T =e^{U'}\) dargestellt werden, und jeder Transformation \(T\) dieser Gruppe oder was auf dasselbe hinauskommt, jeder Transformation \(e^T\) der ursprünglichen Gruppe entspricht ihre Adjungierte, die Transformation: \(e^{-T} e^U e^{T}= e^{U''}\) der adjungierten Gruppe. Von einer linearen homogenen Substitution in \(x_1, \dots, x_n\) sagt der Verf., sie lasse eine reguläre Reihe zu, wenn es \(m\) lineare Kombinationen \(y_1, \dots, y_m\) der \(x\) gibt derart, daß \(y_1, \dots, y_m,\) der Reihe nach in Ausdrücke von der Form: \[ \omega y_1, \omega y_2 +\lambda_1 y_1 , \omega y_3 + \lambda_1 y_2 + \lambda_2 y_1 , \dots, \omega y_m +\lambda_1 y_{m-1} + \lambda_2 y_{m-2} + \cdots + \lambda_{m-1} y_1 \] übergehen. Zwei lineare homogene Substitutionen sind dann und nur dann vertauschbar, wenn sie so viele reguläre Reihen gemein haben, daß \(x_1, \dots, x_n\) daraus durch lineare Kombination ableitbar sind. Hieraus ergibt sich insbesondere die Bedingung dafür, daß die Adjungierten zweier Transformationen \(e^U\) und \(e^V\) vertauschbar sind. In \(\S\) 2 folgen Bemerkungen über die Vieldeutigkeit der Funktionen, die in der kanonischen Parametergruppe auftreten. Läßt man z. B. in \(e^Ue^W\) \(U\) und \(W,\) von 0 ausgehend, kontinuierliche Wege beschreiben, so daß schließlich \(U = V\), \(W = - V\) wird, so braucht nicht \(e^V e^{-V} = 1 \) zu sein. Ebenso folgt aus \(e^{-V} e^U e^V = e^U\) nicht immer \(e^{-U} e^V e^U = e^V.\) Wenn dagegen \(e^{V'}\) und \(e^{V''}\) zwei Determinationen von \(e^V\) sind, also zwei Transformationen, die aus \(e^V\) dadurch entstehen, daß \(V\) zwei verschiedene geschlossene Wege beschreibt, so sind \(e^{\alpha V'}\) und \(e^{\beta V''}\) bei beliebigen \(\alpha\) und \(\beta\) vertauschbar, jedenfalls wenn die Gruppe keine ausgezeichneten infinitesimalen Transformationen enthält. \(\S\) 3 betrachtet die speziellen Transformationen, zu denen die identische Transformation als Adjungierte gehört. Sind \(e^{A_1}, \dots, e^{A_n}\) spezielle Transformationen, und setzt man \(e^U e^{A_i} = e^{V_i},\) so sind die Transformationen \(e^{\alpha U}, e^{\beta_i V_i}\) bei beliebigen \(\alpha\) und \(\beta_i\) vertauschbar, also erzeugen \(U, V_1, \dots, V_n\) eine Untergruppe mit paarweise vertauschbaren Transformationen, ein Ergebnis, das mit einem von \textit{Killing} und \textit{Cartan} auf ganz anderem Wege abgeleiteten Satze übereinstimmt. \(\S\) 4 behandelt die singulären Transformationen, die dadurch charakterisiert sind, daß \(V\) in der Gleichung \(e^U e^W = e^V\) schon dann nicht zu seinem Anfangswerte zurückkehrt, wenn \(U\) und \(W\) gewisse unendlichkleine geschlossene Wege beschreiben. Es gibt drei Arten singulärer Transformationen, von denen freilich im Grunde nur zwei in Betracht kommen; bei der einen ist \(V\) als Funktion von \(U\) und \(W\) bis zu einem gewissen Grade unbestimmt, bei der andern wird es unendlich. Die charakteristische Gleichung der Adjungierten hat jedesmal Wurzeln, deren Differenz ein Vielfaches von \(2\pi i\) ist. Der Verf. erläutert das an der Gruppe der Rotationen. In \(\S\) 5 wird gezeigt, daß bei den Gruppen mit ausgezeichneten infinitesimalen Transformationen gewisse Besonderheiten eintreten. In \(\S\) 6 wird das Studium der singulären Transformationen fortgesetzt; es wird untersucht, wie sich die Determination von \(e^V\) ändert, wenn \(V\) eine singuläre Transformation umläuft; es wird zwischen wirklich singulären und quasi-singulären Transformationen unterschieden usw. In \(\S\) 7 werden die Differentialgleichungen der endlichen Transformationen der kanonischen Parametergruppe untersucht; in \(\S\) 8 der Fall, daß sich die Wurzeln der charakteristischen Gleichung nicht mehr wie einfache Wurzeln verhalten. In \(\S\) 9 wird aus der kanonischen Parametergruppe eine andere, zu ihr isomorphe Gruppe, die Gruppe der \(W_i\) gebildet, die gewisse willkürliche Konstanten enthält, und die bei geeigneter Wahl der Konstanten verschiedene spezielle Gruppen, von Interesse liefert. \(\S\) 10 bringt Anwendungen auf die Gruppe der Rotationen, und \(\S\) 11 zeigt, daß unter gewissen Voraussetzungen eine endliche Transformation angegeben werden kann, die die Gruppe der \(W_i\) in die kanonische Parametergruppe überführt. Das Vorstehende gibt nur ein sehr unvollkommenes Bild von dem reichen Inhalte der Arbeit; ein wirklich erschöpfendes Referat würde aber selbst zu einer Abhandlung anschwellen.