The determination of the conjugate points for discontinuous solutions in the calculus of variations. (Q1492067)

Sei eine gebrochene Extremale des Integrales \(\int F(x, y,x',y') dt\) gegeben, d. h. eine aus zwei regulären Extremalenbogen \(\mathfrak E_0\) und \(\overline{\mathfrak E}_0\) dieses Integrales zusammengesetzte Kurve, die im Punkte \(P_0 = (x_0, y_0),\) in dem \(\mathfrak E_0\) und \(\overline{\mathfrak E}_0\) zusammenstoßen, eine Ecke aufweist, in der die bekannte \textit{Weierstraß-Erdmann}sche Bedingung erfüllt ist. Entlang der ganzen gebrochenen Extremale wird die \textit{Legendre}sche Bedingung in der Form \(F_1 > 0\) als erfüllt vorausgesetzt. \(\mathfrak E_0\) und \(\overline{\mathfrak E}_0\) mögen im Punkte \(P_0\) mit der \(x\)-Achse die Winkel \(\vartheta_0\) und \(\overline\vartheta_0\) bilden, und es sei \(\overline \vartheta_0 - \vartheta_0 \not\equiv 0\) (mod. \(\pi\)). Endlich sei der von Carathéodory eingeführte Ausdruck: \[ \begin{aligned} \varOmega (x_0, y_0) = & \cos \vartheta_0 F_x (x_0, y_0, \cos \overline\vartheta_0, \sin \overline\vartheta_0) + \sin \vartheta_0 F_y (x_0, y_0, \cos \overline\vartheta_0, \sin \overline\vartheta_0)\\ & - \cos \overline \vartheta_0 F_x (x_0, y_0, \cos \vartheta_0, \sin \vartheta_0) - \sin \overline \vartheta_0 F_y (x_0, y_0, \cos \vartheta_0, \sin \vartheta_0)\end{aligned} \] von Null verschieden. Umgibt man \(\mathfrak E_0\) mit einer einparametrigen Schar von Extremalen \(\mathfrak E,\) so gibt es auf jeder Extremale dieser Schar einen und nur einen \(P_0\) benachbarten Punkt, in dem sich an diese Extremale eine \(\overline{\mathfrak E}_0\) benachbarte Extremale so anschließt, daß im Knickpunkte die \textit{Weierstraß-Erdmann}sche Bedingung erfüllt ist. Der Ort dieser Knickpunkte ist also eine durch \(P_0\) hindurchgehende Kurve; der Winkel, den sie in \(P_0\) mit der \(x\)-Achse bildet, sei \(\widetilde\vartheta.\) Die genannten, \(\overline{\mathfrak E}_0\) benachbarten Extremalen bilden auch eine einparametrige Schar \(\overline{\mathfrak E},\) welche die ``zu \(\mathfrak E\) komplementare Schar'' heißt. Die Richtung \(\widetilde \vartheta\) ist nur abhängig von der Lage des extremalen Brennpunktes \(Q\) der Schar \(\mathfrak E\) auf \(\mathfrak E_0\); sie fällt zusammen mit \(\vartheta_0\), wenn \(Q\) in den Punkt \(P_0'\) von \(\mathfrak E_0\) fällt, dessen konjugierter \(P_0\) ist, und dreht sich beständig in derselben Richtung um zwei Rechte, wenn \(Q\) von \(P_0'\) bis \(P_0\) rückt. In einem und nur einem zwischen \(P_0'\) und \(P_0\) gelegenen Punkte \(E_0\) von \(\mathfrak E_0\) wird daher \(\widetilde\vartheta = \overline \vartheta.\) Je nachdem \(\varOmega_0 < 0\) oder \(\varOmega_0 > 0,\) durchläuft die Richtung \(\widetilde \vartheta,\) wenn \(Q\) von \(P_0'\) bis \(E_0\) rückt, das Äußere oder das Innere des von \(\mathfrak E_0\) und \(\overline {\mathfrak E}_0\) gebildeten Winkels. Der extremale Brennpunkt auf \(\overline{\mathfrak E}_0\) der zur Schar \(\mathfrak E\) komplementaren Schar \(\overline{\mathfrak E}\) wird mit \(\overline Q\) bezeichnet und heißt ``der zu \(Q\) konjugierte Punkt'' der gebrochenen Extremale \(\mathfrak E_0 + \overline{\mathfrak E}_0\). Die Gleichung, die die Parameterwerte von \(Q\) und \(\overline Q\) aneinanderknüpft, wird explizit aufgeschrieben. In dem (bei weitem wichtigeren) Falle \(\varOmega_0 < 0\) (vgl. die unten besprochene Arbeit von \textit{A. Dresden}) haben die konjugierten Punkte dieselbe Bedeutung wie bei kontinuierlichen Extremalen. In diesem Falle rückt, wenn \(Q\) von \(E_0\) bis \(P_0\) rückt, der Punkt \(\overline Q\) von \(P_0\) bis zu jenem Punkt \(\overline E_0\) von \(\overline {\mathfrak E}_0,\) der auf \(\overline {\mathfrak E}_0\) dieselbe Rolle spielt wie \(E_0\) auf \(\overline {\mathfrak E}_0.\)