The approximation polynomials of Chebyshev (Q1492117)

Einer Darstellung der Tschebyscheffschen Untersuchungen über Approximation stetiger Funktionen durch Polynome festen Grades \(n\) folgt im ersten Teile der Arbeit eine analoge Behandlung der Approximation von Funktionen von zwei reellen Veränderlichen. Zuerst wird das Analogon des Haupttheorems von Tschebyscheff, das \textit{P. Kirchberger} [Über Tchebychefsche Annäherungsmethoden. Göttingen. 96 S. (1902; JFM 33.0397.03); Math. Ann. 57, 509--540 (1903; JFM 34.0438.01)] schon aufgestellt hatte, in allgemeiner Form bewiesen. Sodann wird gezeigt, daß das Annäherungspolynom \(n\)-ten Grades bei Funktionen von zwei Veränderlichen nicht eindeutig bestimmt ist; der Satz, daß sich mit der annähernden Funktion das \(n\)-te Annähe\-rungspolynom stetig ändert, wird trotzdem in passender Modifikation bewiesen. Der zweite Teil der Arbeit behandelt die Approximation der stetigen Funktionen von einer und auch zwei Veränderlichen durch trigonometrische Polynome (vgl. auch die Arbeit von \textit{M. Fréchet} [C. R. 144, 124-125 (1907; JFM 38.0306.02)], deren Beweise etwa gleichzeitig mit der vorliegenden Arbeit erschienen sind). Der dritte Teil beschäftigt sich mit der Übertragung der Tschebyscheffschen Fragen auf Funktionen einer komplexen Veränderlichen in irgend einem zusammenhängenden, schlichten Bereiche und behandelt auch hier, mit bejahender Antwort, die drei Fragen: Eindeutig, Charakterisierung der Annäherungsfunktion durch ihr Verhalten zur gegebenen, stetige Abhängigkeit von dieser.