Zur Theorie der trigonometrischen Reihe. (Q1492123)

Die Frage nach der Eindeutigkeit der Darstellung einer Funktion durch eine trigonometrische Reihe ist verknüpft mit der Frage nach dem Gültigkeitsbereich des von \textit{H. A. Schwarz} herrührenden Satzes, daß eine Funktion linear ist, deren zweite mittlere Derivierte verschwindet, falls man für die letztere Voraussetzung eine Menge \(L\) von Ausnahmepunkten gestattet. Nach den Resultaten von \textit{G. Cantor, L. Scheeffer, Lüroth} konnte man, unter Benutzung einer Bemerkung von \textit{Lebesgue}, die Menge \(M\) als eine beliebige abzählbare Menge annehmen. Die vorliegende Arbeit bringt die Frage nach den notwendigen und hinreichenden Bedingungen über die Menge der Ausnahmepunkte \(L\) für den \textit{Schwarz}schen und \textit{Hölder}schen Satz, wie gleichlautend für den Fundamentalsatz der Integralrechnung durch folgenden Satz zu vollständigen Abschluß: Es ist erstens hinreichend, anzunehmen, daß die Menge \(L\) keinen perfekten Bestandteil enthält; enthält zweitens die Menge \(L\) einen perfekten Bestandteil, so existiert eine eckenlose, nicht lineare (resp. nicht konstante) Funktion, welche in den vorgeschriebenen Stellen verschwindende zweite mittlere Derivierte (resp. erste Derivierte) besitzt. Die Bedingung ist also notwendig. Mengen, die keinen perfekten Bestandteil besitzen, werden als ``total imperfekt'' bezeichnet, und es wird die Existenz total imperfekter Mengen im Kontinuum bewiesen, indem folgender Satz auf beliebige wohlgeordnete Mengen übertragen wird: Es sei \((S_{\lambda \mu})\) \((\lambda \mu = 1, 2, \dots)\) ein doppelt unendliches System von positiven ganzen Zahlen, so läßt sich stets eine Menge \(T\) von ganzen Zahlen angeben, die keine der Horizontalreihen des Systems \((S_{\lambda \mu})\) als Teilmenge enthält. Das Kontinuum läßt sich als Summe zweier total imperfekten und nicht meßbaren Mengen auf mindestens \(2^{\aleph_1}\)-fache Weise darstellen. In \(\S\) 4 wird die Frage erörtert, ob es möglich sei, die Konstruktion einer total imperfekten Menge eindeutig zu leisten. Um zu zeigen, daß es Fälle gibt, in denen eine Eindeutigkeit der Konstruktion einer Menge nicht erreichbar ist, wird eine Menge von bestimmter Mächtigkeit und bestimmtem Ordnungstypus so konstruiert, daß in derselben kein Element ausgezeichnet ist. Zu erwähnen sind Sätze über die Derivierten der monotonen und konvexen Funktionen. Die Beweise werden durch Transformation auf monotone und konvexe Funktionen geführt. Zum Schluß\ wird gezeigt, daß es eine nicht eckenlose Funktion gibt, deren zweite mittlere Derivierte an allen Stellen mit Ausnahme einer abzählbaren Anzahl verschwindet, und damit ist die Notwendigkeit der Bedingung der Eckenlosigkeit für die Gültigkeit des \textit{Schwarz-Hölder}schen Satzes gezeigt.