Sur le choix de l'exposant de convergence pour les fonctions entières de genre infini. (Q1492140)

In der ganzen Funktion \(\prod_1^n \left(1-\frac z{a_n} \right) e^{\frac x{a_n} + \cdots + \frac 1{p_n} \left( \frac x{a_n} \right)^{p_n}}\) sei \(1/|a_n|^k\) bei beliebigen \(k\) divergent, \(a_1 \neq 0, \) die Nullstellen \(a_1, a_2, \dots, a_n, \dots\) seien nach nicht abnehmenden Moduln geordnet; \(p_n\) sei eine ganze Funktion ihres Zeigers. Soll die zugehörige ganze Funktion \(F(z)\) in den Anwendungen ähnliche Dienste leisten wie bei den kanonischen Produkten endlichen Ranges (genre), so darf \(p_n\) nur von der Folge \(r_1, r_2, \dots, r_n, \dots\) der Moduln der Nullstellen abhängen. Bezeichnet \(M(r)\) das Maximum des Moduls von \(F(z)\) für \(|z| =r,\) so wird \(M(r)\) für jeden Wert von \(r\) eine obere Grenze \(P(r)\) haben; dann ist der kanonische Exponent \(p_n\) so zu bestimmen, daß diese Grenze möglichst klein wird. Es werde \(h\) so gewählt, daß \(r_h \leqq r < r_{h+1}\) ist, und \(F(z)\) werde in die beiden Produkte \(F_1(z)\) für \(n = 1, \dots, h\) und \(F_2(z)\) für \(n = h + 1, \dots, \infty\) zerlegt; \(P_1(r), P_2(r)\) seien die oberen Grenzen von \(|F_1(z)|\) und \(|F_2(z)|\) auf einem Kreise vom Radius \(r,\) so daß \(P = P_1 P_2\) ist; dann wird der kanonische Exponent offenbar derjenige sein, für den die Produkte \(P_1\) und \(P_2\) dieselbe Größenordnung haben.