Quelques remarques sur la croissance de la fonction \(\zeta(s)\) (Q1492148)

Auf recht einfache Art werden zunächst gewisse bereits bekannte Eigenschaften der Riemannschen Funktion \(\zeta(s)\) hergeleitet. 1. Es sei \(s = \sigma + it\) dann ist \(|\zeta(s)|\) in dem Bereiche \(\sigma \geqq 1 + \varepsilon\) endlich und von Null verschieden; \(\varepsilon\) bedeutet eine beliebig kleine positive Zahl. 2. In dem Bereiche \( -\sigma_0 \leqq \sigma \leqq - \varepsilon\), \(|t| \geqq t_0,\) wobei \(\sigma_0\) eine beliebig große positive Zahl sein darf, ist der Ausdruck \[ |\zeta(\sigma +it)\cdot t^{\sigma-\frac 12}| \] endlich und von Null verschieden. 3. In dem kritischen Intervall \(0 \leqq \sigma \leqq 1\) wächst \(\zeta(\sigma + it)\) als Funktion von \(t\) bei festem Werte von \(\sigma\) langsamer als eine endliche Potenz von \(t\). 4. Für \(\sigma = 1\) bleibt der Ausdruck \(|\zeta(1 + it)|:\text{ln}|t|,\) für \(\sigma = 0\) der Ausdruck \(|\zeta (it): |t|^{\frac 12}\) ln \(|t|,\) wenn \(|t| \leqq t_1 > 1\) ist, unter einer endlichen Grenze (Satz von Mellin). Es folgt der Beweis eines Lemmas. Die monogene Funktion \(f(s)\) der komplexen Veränderlichen \(\sigma + it\) besitze die Eigenschaft, daß sie a) regulär ist für jeden im Endlichen gelegenen Punkt des Bereiches \(D\), der durch die Ungleichheiten \[ \sigma_1 \leqq \sigma \leqq \sigma_2, \quad t\geqq t_0 > 0 \] erklärt wird, b) auf der Begrenzung einen absoluten Betrag hat, der unter einer endlichen Konstante \(C\) liegt, c) durch \(t^{\mu}\) dividiert, wo \(\mu\) eine endliche Größe bedeutet, innerhalb \(D\) unter einer endlichen Grenze bleibt. Alsdann gilt der Satz, daß der absolute Betrag von \(f(s)\) für jeden Punkt des Bereiches \(D\) kleiner oder gleich \(C\) ist. Mit Hülfe dieses Lemmas ergeben sich neue Sätze über das Verhalten der Riemannschen Zetafunktion. I. Der Ausdruck \[ \frac{|\zeta(\sigma+it)|}{|t|^{\frac{1-\sigma}2}\cdot \text{ ln }|t|} \] bleibt in dem Bereich \[ 0 \leqq \sigma \leqq 1, \quad |t| \geqq t_1 >1 \] unterhalb einer endlichen Grenze. II. Ist \(\varepsilon\) positiv, so hat der Ausdruck \[ t^\varepsilon \zeta(\sigma +it), \] wenn \(t\) ins Unendliche wächst und der Größe \(\sigma\) ein Wert innerhalb des Intervalles \[ \frac 12 \leqq \sigma \leqq 1 \] beigelegt wird, niemals Null zur Grenze. Ferner gilt dasselbe für den Ausdruck \[ \frac{t^\varepsilon \zeta (\sigma +it)}{t^{\frac 12 - \sigma}}, \] wenn der Größe \(\sigma\) ein Wert innerhalb des Intervalles \[ 0\leqq \sigma \leqq \frac 12 \] beigelegt wird. Dieser Satz gilt auch noch für \(\varepsilon = 0.\) III. Auf jeder der Geraden \(\sigma = \sigma_0\), für die \(\sigma \geqq 1\) ist, erlangt der absolute Betrag von \(\zeta(s)\) in jeder noch so großen Entfernung von der reellen Achse Werte, die kleiner sind als ein gewisser positiver echter Bruch.