Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven. (Dritte Mitteilung.) (Q1492150)

Das Problem der Uniformisierung einer beliebigen analytischen Funktion, in allgemeinster Weise aufgefaßt, führt auf ein allgemeines Abbildungsprinzip; dieses besagt, daß man jede endlich- oder unendlich-vielblättrige \textit{Riemann}sche Fläche \(B\), die durch jeden auf ihr gezogenen Rückkehrschnitt in getrennte Stücke zerfällt, umkehrbar eindeutig und konform auf einen einblättrigen Bereich abbilden kann. Ist nämlich \(t(x, y)\) irgend eine zur Kurve \((x, y)\) gehörende Uniformisierungstranszendente, so gehört zu derselben eine über der \textit{Riemann}schen Fläche der Funktion \(y(x)\) ausgebreitet zu denkende \textit{Riemann}sche Fläche \(\varPhi\), welche durch Vermittlung der Funktion \(t(x, y)\) umkehrbar eindeutig konform auf das einblättrig vorzustellende Wertegebiet \(T\) der Variable \(t\) abgebildet wird und daher den Bedingungen des erwähnten Bereichs \(B\) genügt. Mit dem allgemeinen Abbildungsprinzip steht ein allgemeines Uniformisierungsprinzip in unmittelbarem Zusammenhang. Letzteres besagt, daß jede vom Standpunkte der Analysis situs mögliche Uniformisierung einer analytischen Funktion auch funktionentheoretisch existiert. Was den Beweis des allgemeinen Abbildungsprinzips anbetrifft, so läßt sich der Fall eines endlichen Zusammenhanges des abzubildenden Bereichs \(B\) unter Heranziehung der \textit{Schwarz}schen Methode der gürtelförmigen Verschmelzung auf den Fall des einfachen Zusammenhangs zurückführen, welcher von dem Verf. in der ``ersten'' und ``zweiten Mitteilung'' (F. d. M. 38, 453-456, 1907, JFM 38.0453.01, JFM 38.0454.01, JFM 38.0455.01 u. JFM 38.0455.02) erledigt worden ist. Der Fall unendlich hohen Zusammenhange erfordert jedoch eine ganz neue Behandlung. Der Bereich \(B\) wird als Grenze \(B = \lim_{n=\infty} B_n\) endlich-vielfach zusammenhängender Näherungsbereiche \(B_1, B_2, \dots\) dargestellt, wobei \(B_1 < B_2 < B_3 < \dots \) ist. Ist \(\varphi_n(x)\) eine passend normierte Funktion welche den Bereich \(B_n\) konform auf einen einblättrigen Bereich abbildet, so läßt sich aus der Reihe der Indizes \(1, 2, 3, \dots\) eine Folge \(n_1 < n_2 < n_3 < \dots\) so auswählen, daß die Funktion \(\lim_{\nu = \infty}(x)\) der ganzen Fläche \(B\) existiert und eine umkehrbar eindeutige konforme Abbildung dieser Fläche auf einen schlichten Bereich vermittelt. Der Verf. teilt noch einen zweiten Beweis des allgemeinen Abbildungsprinzips mit. Bei diesem Beweise wird zunächst aus dem Bereiche \(B\) ein kleines einfach zusammenhängendes inneres Stück \(\lambda_0\) ausgeschnitten und der Bereich \(B - \lambda_0\) nach einer besonderen Methode auf einen schlichten Bereich abgebildet. Darauf wird die konforme Abbildung des Bereichs \(B\) selbst durch eine Anwendung der \textit{Schwarz}schen Methode der gürtelförmigen Verschmelzung gefunden. Zum Schlusse wird von dem Verf. ein allgemeines Kreisnormierungsprinzip ausgesprochen, welches besagt, daß man jeden schlichten Bereich endlichen oder unendlich hohen Zusammenhangs umkehrbar eindeutig und konform auf einen von lauter Vollkreisen begrenzten Bereich abbilden kann, wobei der einzelne Kreis sich auch auf einen Punkt reduzieren kann. Der Beweis dieses allgemeinen Prinzips ist dem Verf. im Falle endlichen Zusammenhangs vollständig (vgl. das vorhergehende Referat (JFM 39.0489.01)), im Falle unendlich hohen Zusammenhangs nur für solehe Bereiche vollständig gelungen, bei welchen jede Begrenzungslinie in bezug auf die Achse des Reellen zu sich selbst symmetrisch ist. Der Verf. hat seine Untersuchungen inzwischen in einer Reihe von Abhandlungen in Gött. Nachr. 1909 und 1910, Math. Ann. 1909 (Bd. 67) und 1910 (Bd. 69), J. für Math. 1910 (Bd. 138) weiter geführt.