Über die Darstellbarkeit der homorphen Formenscharen durch \textit{Poincaré}sche \(Z\)-Reihen. (Q1492167)

Während \textit{Poincaré} von einem automorphen Fundamentalbereich aus geht, dessen Ränder paarweise durch lineare Substitutionen einander zugeordnet sind, und die automorphen Funktionen von bestimmter, durch die Konvergenzbedingung geforderter negativer Dimension durch Reihen darstellt, sucht \textit{F. Klein} die Theorie dieser Funktionen auf \textit{Riemann}scher Grundlage aufzubauen. Die \textit{Klein}schen Ideen durchführend, hat \textit{E. Ritter} die auf einem algebraischen Gebilde vorhandenen algebraischen und multiplikativen Funktionen betrachtet, ihr Verhalten bei Periodenumläufen untersucht, ihre Darstellung durch Primformen gegeben und ihre Mannigfaltigkeit untersucht. Durch Abbildung der Riemannschen Fläche auf einen automorphen Fundamentalbereich überträgt er die gewonnenen Sätze auf die automorphen Funktionen, die im Fundamentalbereich den algebraischen und multiplikativen Funktionen entsprechen, und zeigt, daß für \(p = 0\) sämtliche automorphe Funktionen von bestimmter negativer Dimension durch \textit{Poincaré}sche Reihen darstellbar sind; den Nachweis der Darstellbarkeit für beliebiges \(p\) haben später \textit{F. Klein} und \textit{Fricke} in dem zweiten Bande der Vorlesungen über die Theorie der automorphen Funktionen erbracht. An die Theorie der multiplikativen Formen schließt sich die Lehre von den analytischen Gebilden an, die \textit{Ritter} als \textit{Riemann}sche Formenscharen bezeichnet hatte, und die von \textit{Fricke} den Namen ``polymorphe Formen'' erhalten haben. Sie sind definiert als Systeme homogener Funktionen gleicher Dimension, die bei Periodenumläufen oder bei Umkreisung gewisser singulärer Stellen bestimmte lineare homogene Substitutionen erleiden. Werden sie in ihrer Abhängigkeit von den automorphen Veränderlichen betrachtet, so spricht man von homomorphen Formen, sodaß also den polymorphen Formen die homomorphen Formen in derselben Weise entsprechen, wie die automorphen Formen den multiplikativen. \textit{Ritter} hatte bereits begonnen, die Theorie der homomorphen Formenscharen in derselben Weise wie die der automorphen Formen durchzuführen, also durch den \textit{Riemann}schen Ansatz; er ist jedoch durch seinen allzufrühen Tod an der Vollendung seiner Untersuchungen verhindert worden. Auf der anderen Seite hatte \textit{Poincaré} (Acta Math. 5, 1884) homomorphe Funktionen durch einen ähnlichen Reihenprozeß\ wie die automorphen Funktionen dargestellt. Die vorliegende Dissertation stellt sich nun die Aufgabe, die \textit{Klein-Ritter}sche Theorie weiterzuführen und sie mit den Untersuchungen von \textit{Poincaré} in Verbindung zu bringen; insbesondere wird unter gewissen vereinfachenden Annahmen der Nachweis geliefert, daß sämtliche homomorphe Formenscharen von bestimmter negativer Dimension durch \textit{Poincaré}sche Reihen darstellbar sind. Die Arbeit besteht aus fünf Abschnitten: 1. Existenz und Mannigfaltigkeit der polymorphen Formenscharen. Konjugierte Formenscharen. 2. Uniformisierung des algebraischen Gebildes durch eine binäre Formenschar. Herleitung einiger fundamentaler Relationen. 3. Ansatz der \textit{Poincaré}schen \(Z\)-Reihen. 4. Elementarformenscharen. Ganze homomorphe Formenscharen. 5. Darstellbarkeit der homomorphen Formenscharen durch die Elementarformenscharen und die \textit{Poincaré}schen \(Z\)-Reihen.