Über die Entwicklung der ganzen Potenzen der reziproken Entfernung zweier Punkte nach Kugelfunktionen. (Q1492226)

Für das Quadrat der reziproken Entfernung zweier Punkte in räumlichen Polarkoordinaten wird die folgende Formel aufgestellt: \[ \text{(A III)} \qquad \left( \frac 1{\sqrt{r_1^2 + r^2 - 2rr_1 \cos \gamma}}\right)^2 = \left[ \sum_0^\infty \frac {r^n}{r_1^{n+1}}\;P_n (\cos \gamma)\right]^2 = \sum_0^\infty \frac{2n+1}{4rr_1}\;Q_n \left(\frac {r^2 + r_1^2}{2rr_1}\right) P_n (\cos \gamma). \] Abgeleitet wird dieselbe, indem man die reziproke Entfernung zweier Punkte der Ebene in elliptischen Koordinaten ausdrückt und diesen Ausdruck auf doppelte Weise entwickelt. Sind \(\lambda, \vartheta\) die elliptischen Koordinaten des Punktes \(p,\) die mit seinen rechtwinkligen Koordinaten \(x, y\) durch die Gleichungen zusammenhängen: \[ x=\tfrac k2 (e^\lambda + e^{-\lambda}) \cos \vartheta, \;y=\tfrac k2 (e^\lambda-e^{-\lambda}) \sin \vartheta; \] sind ebenso \(\lambda_1, \vartheta_1\) die elliptischen Koordinaten von \(p_1\), ferner \[ u = e^{-(\lambda_1+\lambda)},\quad v = e^{-(\lambda_1 - \lambda)} \] so ist einmal \[ \frac 1{\overline {pp_1}} = \frac {2\sqrt{uv}}{k} \cdot \frac 1{\sqrt{1-2u \cos (\vartheta+\vartheta_1) + u^2}}\cdot \frac 1{\sqrt{1-2v \cos (\vartheta+\vartheta_1) + v^2}}\,, \] und jeder der beiden letzten Faktoren rechts läßt sich auf bekannte Weise entwickeln. Setzt man andererseits \[ \varrho =\tfrac 12 (e^\lambda +e^{-\lambda})=\frac{u+v}{2\sqrt{uv}},\quad \varrho_1 = \tfrac 12 (e^{\lambda_1} + e^{-\lambda_1}) = \frac {1 + uv}{2\sqrt{uv}}\,, \] so erhält man: \[ \frac 1{\overline {pp_1}} = \frac 1{2k} \sum_0^\infty (2n + 1) P_n (\varrho) P_n (\cos \vartheta) Q_n (\varrho_1) P_n (\cos \vartheta_1). \] Letztere Reihe ist nichts anderes als ein spezieller Fall der Reihe für die reziproke Entfernung zweier Punkte in elliptischen Raumkoordinaten (bei Zugrundelegung von Rotationsellipsoiden). Die Gleichsetzung der beiden Ausdrücke für \(1\sqrt{pp_1}\) führt, wenn man noch \(u = v, \vartheta_1 = 0\) setzt, zu der Gleichung (AIII). Setzt man nicht \(\vartheta _1= 0,\) sondern \(\vartheta _1= \vartheta , \vartheta _1= 2\vartheta \) usw., so gelangt man zu anderen interessanten Folgerungen. Weiter kann man auf bekannte Weise aus der Reihe für \[ \left( \frac 1{\sqrt{r^2 +r_1^2 - 2rr_1 \cos \gamma}}\right)^h \] durch Differentiation nach \(r\) und \(r_1\) die Reihe für die \((h + 2)\)-te Potenz jenes Ausdrucks ableiten, so daß man aus den Reihen für die erste und für die zweite Potenz der reziproken Entfernung Reihen für beliebige Potenzen derselben erhält.