Über das Produkt zweier Zylinderfunktionen. (Q1492237)

Aus der \textit{Bessel}schen Differentialgleichung ergibt sich mittels einfacher Rechnungen, daß das Produkt zweier willkürlichen Zylinderfunktionen \[ y = C^\nu (\alpha x) C_1^\varrho (\beta x) \] einer linearen homogenen Differentialgleichung 4 Ordnung genügt. Der Verf. leitet diese Differentialgleichung speziell für die Fälle (1) \(\alpha = \beta = 1,\;\nu \gtrless \varrho;\;(2)\;\nu = \varrho,\;\alpha \gtrless \beta;\;(3)\;\alpha = \beta = 1,\;\nu = \varrho\) her. Im Fall (3) genügt \(y\) einer Differentialgleichung dritter Ordnung. Aus der für den Fall (2) geltenden Differentialgleichung folgt unmittelbar eine Reihenentwicklung des Produktes \(J^\nu (x) J^\nu (ix)\) nach steigenden Potenzen von \(x\); ferner reduziert sich diese Differentialgleichung, wenn man nachträglich darin \(\alpha = \beta = 1\) setzt, auf eine Gleichung dritter Ordnung für \(D_x\) \([C^\nu (x) C_1^\nu (x)].\) Formt man noch den Differentialquotienten von \(C^{\nu}\) mittels der bekannten Rekursionsformeln um, so folgt, daß die Funktion \[ y = x^\alpha [C_1^{\nu-1} (px) C^\nu (px) - C_1^\nu (px) C^{\nu+1} (px)] \] immer drei voneinander unabhängige partikulare Integrale einer gewissen Differentialgleichung dritter Ordnung liefert. Der Verf. vergleicht dann diese Differentialgleichung mit einer anderen, die er in seinem Handbuch der Zylinderfunktionen (S. 211) für ein von Zylinderfunktionen abhängiges Integral abgeleitet hatte. Durch passende Verfügung über die in ihnen auftretenden Konstanten werden die beiden Differentialgleichungan identisch, und daraus ergibt sich das Resultat: \[ \int_0^\infty\;\frac{J^{2\nu} (tx)dt}{(t^2 + y^2)^{\frac 32}} = \frac{\pi xi}{4y \sin (\nu \pi)}\;D_\xi [e^{-\nu \pi i} (J^\nu (\xi))^2 - J^\nu (\xi)J^{-\nu}(\xi)]_{\xi = \frac {ixy}2}. \] Der Ausdruck auf der rechten Seite läßt sich durch Einführung der \textit{Hankel}schen Funktionen noch etwas vereinfachen.