Stelsels van bollen, die een kubische ruimtekromme aanraken (Systeme von Kugeln, die eine kubische Raumkurve berühren). (Q1492539)

Verf. sucht die Anzahlen von Kugelflächen zu bestimmen, die einer vierfachen Berührungsbedingung in bezug auf eine gegebene kubische Raumkurve \(R_3\) (fünf zusammenfallende Schnittpunkte, vier und zwei zusammenfallende Schnittpunkte usw.) genügen, und die Anzahlen der durch einen gegebenen Punkt gehenden Kugelflächen, die einer dreifachen Berührungsbedingung genügen usw. Das System der Kugeln kann durch ein System quadratischer Flächen ersetzt werden, die durch einen in einer Ebene \(v\) liegenden Kegelschnitt \(K_2\) hindurchgehen. Legt man durch eine Gerade \(l\) von \(v\) eine beliebige Ebene \(s,\) die \(R_3\) in \(S_1, S_2, S_3\) schneidet, und legt man durch \(S_1, S_2, S_3\) und \(K_2\) eine der \(\infty^1\) quadratischen Flächen, die \(R_3\) in \(S_4, S_5, S_6\) schneidet, so ist die Schnittlinie \(l'\) von \(v\) mit der durch \(S_4, S_5, S_6\) gehenden Ebene \(s'\) von der Wahl der Ebene \(s\) und der quadratischen Fläche unabhängig, also nur abhängig von der Geraden \(l\) Zwischen den Geraden \(l\) und \(l'\) besteht eine quadratische Verwandtschaft, die in dem ersten Abschnitt näher untersucht wird, auch für die verschiedenen besonderen Fälle, die eintreten können. Mit Hülfe dieser Verwandtschaft werden im zweiten Abschnitt die Anzahlen der durch \(K_2\) gehenden quadratischen Flächen bestimmt, die einer vierfachen Berührungsbedingung in bezug auf \(R_3\) genügen, auch für den Fall, daß \(v\) eine Berührungs- oder Schmiegungsebene der \(R_3\) ist. In diesem Falle können nämlich eine oder mehrere Lösungen des allgemeinen Falles in die Ebene \(v\) und eine zweite Ebene ausarten, welche Lösungen der Verf. nicht mitzählen will. Darin soll gerade der Vorzug der Methode des Verf. (vor der von \textit{Sturm} benutzten Methode, die auf der Betrachtung der hüheren Involutionen auf \(R_3\) beruht) bestehen, daß man einzeln die Anzahlen der ausgearteten und der nichtausgearteten Lösungen findet. In den Fällen, daß keine der Lösungen ausartet, sind die vom Verf. gefundenen Anzahlen bekannt und sämtlich in einer schon 1866 von \textit{de Jonquières} (J. für Math. {66}, 289-321) gegebenen sehr allgemeinen Formel enthalten. In den Fällen, wo die Anzahlen durch die Anzahlen durch die Ausartungen erniedrigt werden, sind aber die Resultate des Verf. meistens nicht richtig, so daß der Vorzug seiner Methode jedenfalls noch sehr fraglich scheint. So findet Verf. für den Fall, daß \(R_3\) die Ebene \(v\) in \(P_1\) berührt und in \(P_2\) schneidet, während \(K_2\) nicht durch \(P_1\) und nicht durch \(P_2\) geht, fünf (statt vier) durch \(K_2\) gehende quadratische Flächen, die \(R_3\) in einem gegebenen Punkt berühren und in einem nicht gegebenen Punkt oskulieren, und acht (statt sechs) quadratische Flächen, die \(R_3\) außerhalb \(P_1\) fünfpunktig berühren (S. 50); für den Fall, daß \(R_3\) die Ebene \(v\) in \(P_1\) oskuliert und \(K_2\) nicht durch \(P_1\) geht, findet er vier (statt zwei) quadratische Flächen, die \(R_3\) außerhalb \(P_1\) fünfpunktig berühren (S. 59) usw. Bemerkt sei noch, daß Verf. auch die Fälle betrachtet, in denen die Berührungsbedingung nicht zur Bestimmung der quadratischen Fläche ausreicht. So findet er z. B. vier Systeme von \(\infty^1\) Kugeln, die \(R_3\) dreimal berühren; die Mittelpunkte dieser Kugeln liegen auf vier Geraden (S. 86).