Bemerkungen über die Gewebe (``Kurvennetze ohne Umwege'') auf einer Fläche. (Q1492706)

Zunächst wird gezeigt: man kann das Quadrat des Linienelements einer beliebigen Fläche stets auf die Form \[ ds^2 = \lambda^2 \left[ \left( \frac {\partial \varphi}{\partial u}\right)^2 du^2 + 2 \frac {\partial \varphi}{\partial u}\;\frac {\partial\varphi}{\partial v} \cos \omega du dv + \left( \frac {\partial\varphi}{\partial v}\right)^2 dv^2\right] \] bringen, wobei die Kurven \(\varphi\) = const. den Winkel \(\pi - \omega\) halbieren. Ist \(\lambda = \lambda(\varphi),\) so bilden \((u, v)\) ein Gewebe (Kurvennetz ohne Umwege, in der Bezeichnung von \textit{Scheffers}), d. h. dann ist \(\int ds,\) längs der Kurven \((u, v)\) über eine geschlossene Linie erstreckt, gleich Null. Wenn ein Kurvennetz eine der zwei Bedingungen erfüllt: 1. ein Gewebe zu sein, 2. eine Schar Parallelkurven zu Winkelhalbierenden zu haben. 3. daß die geodätischen Krümmungen der Fäden in den Knotenpunkten einander gleich sind, so erfüllt es auch die dritte und ist gestreift, d. h. \(\omega =\omega (\varphi).\)