Sulle superficie algebriche che ammettono un gruppo continuo permutabile a due parametri di trasformazioni birazionali. (Q1492737)

Die Untersuchung der algebraischen Flächen, welche durch die \(\infty^2\) birationalen Transformationen einer kontinuierlichen, permutablen und transitiven Gruppe \(G\) in sich selbst transformiert werden, wurden von \textit{E. Picard} in einer berühmten Preisschrift (vgl. F. d. M. 21, 775-777, 1889, JFM 21.0775.01) begonnen; dann haben sich mit demselben Thema andere Geometer beschäftigt, unter denen \textit{Painlevé} hervorzuheben ist. Niemand aber hat die Untersuchung auf eine analytisch-geometrische Studie der Fläche gegründet; das will der Verf. im vorliegenden Aufsatz durchführen. Der durch ihn vorgeschlagene Weg kann wie folgt gekennzeichnet werden: Aus der Existenz einer permutablen und absolut transitiven Gruppe von birationalen Transformationen einer Fläche \(F\) in sich selbst folgt auf \(F\) eine andere Reihe (nicht Gruppe) von \(\infty^2\) birationalen involutorischen Transformationen \(K\). Eine Transformation \(K\) besitzt mehr als einen Doppelpunkt; daraus folgt, daß in \(G\) involutorische Transformationen existieren, wie auch inzidenzlose Involutionen \(I_r\), der Ordnung \(r = 2^n\). Das arithmetische Geschlecht \(p_a\) von \(F\) ist daher \(= -1\). Durch Anwendung bekannter Sätze kann man ferner beweisen, daß das geometrische Geschlecht \(p_g\) von \(F \geqq 1;\) und da \(p_g\) nicht größer als 1, so folgt \(p_g = 1\). Da das Geschlecht der kanonischen Kurve von \(F\) gleich Null sein muß, so hat man alles in allem die drei notwendigen gesuchten Bedingungen; da dieselben auch hinreichend sind, so ist der Verf. berechtigt, den folgenden Satz als begründet zu betrachten: ``Die notwendigen und hinreichenden Bedingungen, damit eine algebraische Fläche eine permutable und absolut transitive Gruppe von \(\infty^2\) birationalen Transformationen in sich selbst besitze, sind die, daß ihr arithmetisches und ihr geometrisches Geschlecht resp. gleich \(-1\) und 1 ist, und daß ihre kanonische Kurve rational ist.'' -- Ist diese letzte Bedingung nicht erfüllt, so kann die betrachtete Fläche auf eine vielfache Fläche abgebildet werden, deren Geschlechter die Werte \(-1\) und 1 haben, und die eine rationale kanonische Kurve besitzt.