Determinazione delle varietà a tre dimensioni di \(S_r (r=7)\) i cui \(S_3\) tangenti si tagliano a due a due. (Q1492795)

Es ist bekannt, daß ``die \textit{Veronese}sche Fläche die einzige Fläche eines Raumes \(R_r(r > 4)\) ist, welche kein Kegel ist, und deren Tangetialebenen sich zu je zweien in geraden Linien schneiden''. Durch eine Verallgemeinerung der durch diesen Satz gelösten Frage gelangt der Verf. zu folgenden Resultat: ``Eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit \(V_3\) von \(R_r(r > 7)\), deren dreidimensionale Tangentialräume zu je zweien sich schneiden, liegt entweder 1. auf einem Kegel, dessen Scheitel eine Ebene ist, oder liegt 2. auf einem Kegel, welcher eine \textit{Veronese}sche Fläche von einer Geraden projizierten, oder ist endlich 3. eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit mit elliptischen Schnitten. Durch Anwendung dieses Satzes, wie auch eines anderen, welchen der Verf. nur ausspricht, gelangt er dazu, alle vierdimensionalen Mannigfaltigkeiten von \(R_r(r > 8)\) zu charakterisieren, deren vierdimensionale Tangentialräume sich zu je zweien schneiden; eine solche Mannigfaltigkeit ist 1. entweder ein Kegel, oder liegt 2. auf einem Kegel, dessen Scheitel ein dreidimensionaler Raum ist, oder liegt 3. auf einem Kegel, welcher von einer Geraden eine \textit{Veronese}sche Fläche projiziert, oder endlich ist 4. die \textit{Segre}sche Mannigfaltigkeit \(V_4^6\), die durch zwei kollineare Ebenen oder Bündel erzeugbar ist.