Über die Bahnkurven der Mechanik. (Q1492912)

Die Gesamtheit Bahnen, die ein materieller Punkt unter dem Einfluß gegebener konservativer Kräfte durchlaufen kann, und denen derselbe Energiewert entspricht, wird ein ``isenergetisches'' Bahnkurvensystem genannt, jede aus einem solchen System herausgegriffene Schar eine isenergetische Schar. Folgende Sätze werden bewiesen: I. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß eine gegebene zweiparametrige Kurvenschar \(y''=\varphi(x, y, y')\) als ein isenergetisches Bahnkurvensystem aufgefaßt werden kann, besteht darin, daß \(\left(\frac{\partial \varphi}{\partial y'}-\frac{3\varphi y'}{1+{y'}^2} \right)dx\) ein linearer homogener vollständiger Differentialausdruck ist. Die zur gegebenen Schar gehörende Kräftefunktion ist dann bis auf einen konstanten Faktor eindeutig bestimmt, läßt sich durch bloße Quadraturen finden und lautet: \[ -V(x, y)=Ce^{2\int \varphi(x, y, 0)dy}. \] II. Ist \(y'=p(x,y)\) eine gegebene einparametrige Schar von Kurven, \(y=\bar{\eta}(x, c)\) oder \(\eta(x, y)=c\) die Schar ihrer orthogonalen Trajektorien, so ist stets \(-V(x, y)=e^{-2\psi(x, y)}\) eine Kräftefunktion, zu der die gegebene Schar als isenergetische Bahnkurvenschar gehört; dabei ist \[ \psi(x, y)=\int \frac{\frac{\partial p}{\partial x}+p\frac{\partial p}{\partial y}} {p(1+p^2)}\;dx, \] wo die Integration in der Weise auszuführen ist, daß in der Funktion von \(x\) und \(y\) im Integranden die Substitution \(y=\bar{\eta}(x, c)\) gemacht wird, dann die Quadratur nach \(x\) ausgeführt und in der so entstehenden Funktion von \(x\) und \(c\) wieder \(c=\eta(x, y)\) gesetzt wird. Aus der genannten speziellen Kräftefunktion erhalten wir die allgemeinste, zur gegebenen Schar gehörende durch Multiplikation mit einer willkürlichen Funktion von \(\eta(x, y)\). Aus der Untersuchung wird endlich gefolgert, daß es sicher Bewegungen eines materiellen Punktes in der Ebene gibt, die wohl absolut stabil, aber nicht oszillatorisch stabil sind.