Über das logarithmische Potential einer gewissen Ovalfläche (zweite und dritte Abhandlung). (Q1493055)

In einer im vorigen Jahrgange besprochenen Arbeit (s. F. d. M. 38, 778, 1907, JFM 38.0778.01) hatte der Verf. das logarithmische Potential einer gewissen Ovalfläche von konstanter Dichtigkeit für innere und äußere Punkte berechnet und daraus die merkwürdige Folgerung hergeleitet, daß man das Potential jener Ovalfläche für äußere Punkte ersetzen kann durch das Potential zweiter einzelnen Massenpunkte von bestimmter Lage. Ein analoges Resultat wird hier für andere Ovalflächen hergeleitet. War die Randkurve der früheren Ovalfläche die Reziproke einer Ellipse mit dem Mittelpunkt als Transformationszentrum, so wird nunmehr als Transformationszentrum ein beliebiger Punkt innerhalb der Ellipse gewählt. Für die neue Ovalfläche gilt, falls sie mit Masse von konstanter Dichtigkeit belegt ist, der interessante Satz: ``Wo das Transformationszentrum im Innern der Ellipse auch gedacht werden mag, stets wird das logarithmische Potential der betreffenden materiellen Ovalfläche in bezug auf äußere Punkte von genau derselben Beschaffenheit sein, als rührte es her von zwei festen, inneren Punkten \(\pi_1\) und \(\pi_2\) und überdies von einer diese Punkte miteinander verbindenden Kurve \(s\), selbige versehen gedacht mit einer gewissen materiellen Doppelbelegung von konstantem Moment.'' Die Kurve \(s\) kann beliebig deformiert werden. Für den Mittelpunkt als Transformationszentrum verschwindet die doppelt belegte Linie, ebenso wenn das Transformationszentrum auf der Nebenachse oder wenn es auf der Hauptachse außerhalb der Brennpunkte liegt. Liegt das Transformationszentrum auf der Hauptachse zwischen den Brennpunkten, so liegen \(\pi_1\) und \(\pi_2\) symmetrisch zu dieser Achse, und ihre Massen sind gleich. Fällt das Transformationszentrum in einen Brennpunkt der Ellipse, so fallen \(\pi_1\) und \(\pi_2\) zusammen, und gleichzeitig verwandelt sich die materielle Doppellinie in einen materiellen Doppelpunkt.