Sull' attrazione newtoniana di un tubo sottile. (Q1493062)

Die Abhandlung verallgemeinert die Betrachtungen der vorstehend besprochenen Untersuchungen (JFM 39.0830.01) auf den Fall, daß die materielle Linie durch eine sehr dünne, massive Röhre ersetzt wird. Man denke sich innerhalb der Röhre eine der unendlich vielen geometrischen Linien, die den allgemeinen Gang der Röhre zu definieren vermag; diese Linie möge Mediane oder Leitlinie heißen und mit \(C\) bezeichnet werden. \(P\) sei ein zu \(C\) gehöriger Punkt, \(c\) die Krümmung in \(P\), \(\tau\) der Querschnitt der Röhre durch die Normalebene zu \(C\) in \(P\). Ferner seien \(O\) und \(Q\) zwei Punkte von \(\tau\) und \(d\tau\), \(d\tau_0\) zwei sie umgebende Elemente von \(\tau\), \(\varDelta=OQ\). Man setze \[ k=\frac{1}{\tau^2}\int_{\tau} d\tau \int_{\tau}d\tau_0 \log \frac{l}{\varDelta}, \] wo \(l\) eine unwesentliche Konstante ist, die der Homogeneität wegen zugefügt wird und der einzigen qualitativen Bedingung unterliegt, im Verhältnis zur größten Sehne von \(\tau\) hinreichend groß zu sein. Das so definierte \(k\) ist augenscheinlich eine reiche Zahl. Sie hängt für eine gegebene Röhre nur von dem Normalschnitt \(\tau\) ab, auf den sie sich bezieht, oder, was dasselbe ist, vom Punkte \(P\). Wenn man die Lage von \(P\) auf \(C\) mittels des Kurvenbogens \(s\) festlegt, gezählt von einem beliebigen Nullpunkte, erscheint \(k\) als Funktion von \(s\). Nun betrachte man ein Stückchen der Röhre von der Länge \(ds\) zwischen \(\tau\) und einem anderen unendlich nahen Normalschnitt. Stellt man die zwischen diesen beiden Querschnitten enthaltene Masse durch \(\nu ds\) dar, so ist \(\nu\) die lineare Dichte der Röhre in \(P\). Endlich stelle man durch \(\text{F}ds\) nach Größe und Richtung die Resultante der \textit{Newton}schen Anziehungen dar, welche das erwähnte Röhrenelement von seiten der ganzen Röhre erfängt. Damit ist der endliche Vektor F auf die Längeneinheit bezogen. Sind nun \(F_t, F_n, F_b\) die Kompenenten von F nach der Tangente in \(C\) (in der Richtung der wachsenden \(s\)), der Hauptnormale und der Binormale, wobei die Gravitationskonstante der Einheit gleich angenommen werde, so gilt asymptotisch: \[ F_t^{(a)}=\frac{d(\nu^2k)}{ds},\;F_n^{(a)}=\nu^2kc,\;F_b^{(a)}=0. \] Die Benennung asymptotisch hat folgenden Sinn. Der durch diese Gleichungen definierte Vektor \(\text{F}^{(a)}\) unterscheidet sich um so weniger in Größe und Richtung von der Resultante F, je dünner die Röhre ist, genauer gesprochen: die Richtungen von F und \(\text{F}^{(a)}\) haben das Streben, sich zu vereinigen, das Verhältnis \(\text{F}^{(a)}/\text{F}\) der bezüglichen Längen nähert sich der Einheit in dem Maße, wie der Querschnitt der Röhre unendlich klein wird. Die exakte mathematische Begründung dieser Sätze bildet den Gegenstand der Abhandlung. Eine Anwendung auf die elektromagnetischen Felder wird in Aussicht gestellt.