On a class of periodic solutions in the problem of four bodies. (Q1493568)

Bezugnehmend auf eine Arbeit von \textit{Pavanini} (Annali di Mat. (3) 13, 179-202; F. d. M. 37, 738, 1906, JFM 37.0738.03) setzt Verf. drei Körper mit beliebigen Massen \(m_1, m_2, m_3\) voraus, welche die \textit{Lagrange}sche Bewegung ausführen, in der sie beständig die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks bilden. Zu ihnen soll ein vierter Körper mit unendlich kleiner Masse treten, der aber beliebig im Raume sein kann. Ist \(m_1=m_2=m_3\), und bleibt der vierte Körper auf dem Lot im Schwerpunkt des gleichseitigen Dreiecks, so kann seine Bewegungsgleichung auf die Form \[ z''=-\frac{3\sqrt 3}{(1+3z^2)^{\frac 32}} \] gebracht werden, welche das erste Integral \[ \tfrac 12 {z'}^2 = \frac{\sqrt 3}{\sqrt{1+3z^2}}+E \] besitzt. Innerhalb des Spielraumes \(-\sqrt 3 < E < 0\) ist die Bewegung periodisch, und \(z\) verändert sich zwischen \[ \pm \frac{\sqrt{3-E^2}}{\sqrt 3 E} \cdot \] Aber auch dann, wenn eine der Massen \(m_1, m_2, m_3\) das arithmetische Mittel der beiden andern ist, vereinfacht sich das Problem wesentlich. Auch dann ergeben sich periodische Lösungen analog denjenigen, welche \textit{Pavanini} gefunden hatte.