Some theorems concerning infinite series. (Q1493671)

Es sei \(\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\) eine divergente Reihe, welche aber nach \textit{Cesàro}scher Ausdruckweise einfach unbestimmt ist, d. h. eine Reihe, für welche der Grenzwert \(\lim S_{n}=S\), \(S_{n}=(s_{0}+s_{1}+\cdots+s_{n})/(n+1)\), \(s_{n}=a_{0}+a_{1}+\cdots+a_{n}\) existiert. Es sei ferner \(\varphi(t)\) eine Funktion, die folgenden Bedingungen genügt: \[ |\varphi(t)|\,\frac{M}{t^{2}+\varrho}\,, \quad \left|\frac{d^{2}\varphi}{dt^{2}}\right|<\frac{M}{t^{2}+\varrho}\,, \] wo \(t\) positiv ist und \(>1\); \(M\) und \(\varrho\) sind positive Konstanten. Dann ist die Reihe \(F(t)=\sum a_{n}\varphi_{n}(t) \quad (n=0,\dots,\infty)\) für jedes \(t\) konvergent und, wenn \(\varphi(0)=1\), ist \(\lim F(t)=S\) für \(t=+0\). Dieser Fejérsche Satz wird in folgender Weise verallgemeinert. Setzt man \(\varDelta\varphi_{n}=\varphi_{n}-\varphi_{n+1}\), \(\varDelta^{2}\varphi_{n}=\varphi_{n}-2\varphi_{n+1}+\varphi_{n+2}\), \(\varDelta^{3}\varphi_{n}=\varphi_{n}-3\varphi_{n+1}+3\varphi_{n+2}-\varphi_{n+3},\dots\), und nennt man \(\sum a_{n}\) ``summierbar für den Zeiger \(k\)'' (``summable (\(k\))''), wenn die erste der Größen \(s_{n}=a_{0}+a_{1}+\cdots+a_{n}\), \(s_{n}^{(1)}=(s_{0}+s_{1}+\cdots+s_{n})/(n+1)\), \(s_{n}^{(2)}=(s_{0}^{(1)}+s_{1}^{(1)}+\cdots+s_{n}^{(1)})/(n+1),\dots\), welche für \(n=\infty\) gegen eine bestimmte Grenze konvergiert, \(s_{n}^{(k)}\) ist, dann gilt der Satz: I. Wenn 1) \(\sum a_{n}\) summierbar für den Zeiger \(k\), 2) \(\varphi_{n}\geqq 0\), \(\varDelta\varphi_{n}\geqq 0,\dots,\varDelta^{k+1}\varphi_{n}\geqq 0\) für alle in Betracht kommenden Werte von \(n\) und \(t\), 3) \(\sum n^{k}\varphi_{n}\) für \(t>0\) konvergent, 4) \(\lim\varphi_{n}(t)=1\) für \(t=0\) und jeden Wert von \(n\) ist, dann ist die Reihe \(F(t)=\sum a_{n}\varphi_{n}(t)\) konvergent für \(t>0\) und \(\lim F(t)=s\) für \(t=0\). II. Wenn 1) \(\sum a_{n}\) summierbar für den Zeiger \(k\), 2) \(\sum n^{k}\varphi(nt)\) für \(t>0\) absolut konvergent, 3) \(\left|\frac{d^{k+1-\mu}\varphi(u)}{du^{k+1-\mu}}\right|<\frac{K}{u^{k+1-\mu+\varrho}}\) \((\varrho>0)\) für \(u\geqq 1\) und \(\mu=0,1,\dots, k-1\), 4) \(\varphi(0)=1\) ist, so ist \(F(t)=\sum a_n\varphi(nt)\) für \(t>0\) absolut konvergent und \(\lim F(t)=s\) für \(t=0\). III. Wenn 1) \(\sum a_n\) summierbar ist für den Zeiger \(k\) mit der Summe \(s\), 2) \(\varphi_{n}(t)\) reell und stetig, 3) \(\sum n^{k}\varphi_{n}(t)\) für \(t>0\) absolut konvergent ist, 4) für einen Wert von \(t>0\) die \(\lambda\)-ten Differenzen \(\varDelta^{\lambda}\varphi_{n}\) \((0\leqq\lambda\leqq k+1)\) in \(r_{\lambda}\) Gruppen von aufeinanderfolgenden Gliedern so eingeteilt werden können, daß\ die Terme einer Gruppe dasselbe Vorzeichen, die Gruppen aber abwechselndes Vorzeichen haben, während \(r_{\lambda}\) von \(t\) abhängt, aber kleiner als eine Konstante bei unendlich klein werdendem \(t\) bleibt, 5) \(| n^{\lambda}\varDelta^{\lambda}\varphi_{n}|<K\) für \(\lambda=0,1,\dots,k\) und für alle Werte von \(n\) und \(t\), 6) \(\varphi_{n}(0)=1\) für jedes \(n\) ist, dann ist \(F(t)=\sum a_{n}\varphi_{n}(t)\) absolut konvergent für \(t>0\) und \(\lim F(t)=s\) für \(t=0\).