Über die Konvergenz einiger Klassen von unendlichen Reihen am Rande des Konvergenzgebietes. (Q1493673)

Es sei \(a_{1},a_{2},\dots,a_{n},\dots\) eine Folge komplexer Größen, welche der Bedingung (1) \(\lim n\log n\, a_{n}=0\) \((n=\infty)\) genügen; es sei \(f(x)\) die wegen (1) mindestens für \({\mathfrak R}(x)>0\) konvergente \textit{Dirichlet}sche Reihe \(\sum a_{n}/n^{x}(n=1,\dots,\infty)\), und es wurde vorausgsetzt, daß\ für positive abnehmende \(x\) \(\lim f(x)=A\) (für \(x=0\)) existiert. Dann konvergiert die unendliche Reihe \(\sum a_{n}(n=1,\dots,\infty)\), und es ist \(\sum a_{n}=A\). Es sei \(\lim\frac{\lambda_{n}}{\lambda_{n}-\lambda_{n-1}}\,a_{n}=0\) für \(n=\infty\), so daß\ die Reihe \(f(x)=\sum a_{n}e^{-\lambda}n^{x}\) \((n=1,\dots,\infty)\) jedenfalls für \({\mathfrak R}(x)>0\) konvergiert; es existiere ferner für positive abnehmende \(x\) \(\lim f(x)=A\) für \(x=0\). Dann konvergiert \(\sum a_{n}(n=1,\dots,\infty)\), und es ist \(\sum a_{n}=A\). Erstens sei \(\lim na_{n}=0\) für \(n=\infty\); zweitens existierte \(\lim f(x_{\nu})=A\) (für \(\nu=\infty\)) für irgendeine abzählbare Folge von Punkten \(x_{1},x_{2},\dots,x_{\nu},\dots\) im Einheitskreise \((| x_{\nu}|<1)\), welche den Bedingungen genügen, daß, \(x_{\nu}=1- \frac{1}{\sigma_{\nu}}e^{\varphi_{\nu}i}\left (\sigma_{\nu}>0,- \frac{\pi}{2}<\varphi_{\nu}<\frac{\pi}{2}\right )\) gesetzt, \(\lim 1/\sigma_{\nu}=0\) für \(\nu\infty\), also \(\lim x_{\nu}=1\) für \(\nu=\infty\) und \(\limsup|\varphi_{\nu}|<\frac{pi}{2}\) für \(\nu=\infty\) ist. Dann existiert \(\lim_{\nu=\infty}\sum^{[\sigma_\nu]}_{n=1} a_n\) und ist gleich \(A\). Es sei \(\lim_{\nu=\infty}\,\frac{\lambda_{n}}{\lambda_{n}-\lambda_{n-1}}\,a_{n}=0\); ferner sei \(x_{1},x_{2},\dots,x_{\nu}=\frac{1}{\sigma_{\nu}}e^{\varphi_{\nu}i},\dots\) eine Punktmenge, welche den Bedingungen \(\sigma_{\nu}>0\), \(\lim_{\nu=x}\frac{1}{\sigma_{\nu}}=0\), \(- \frac{\pi}{2}<\varphi_{\nu}<\frac{\pi}{2}\), \(\limsup_{\nu=\infty}|\varphi_{\nu}|<\frac{\pi}{2}\) genügt. Für diese Punktmenge sei \(\lim f(x_{\nu})=A\) für \(\nu=\infty\); dann ist \(\lim_{\nu=\infty}\sum_{n=1}^{\mu_{\nu}}a_{n}=A\), wo \(\mu=\mu_{\nu}\) diejenige Funktion der positiven ganzen Zahl \(\nu\) ist, welche durch die Relationen \(\lambda_{\mu}\leqq\sigma_{\nu}\), \(\lambda_{\mu+1}>\sigma_{\nu}\) eindeutig bestimmt ist. Es sei \(\lim_{n=\infty}a_{n}\gamma_{n}\sum_{m=1}^{n}\frac{1}{\gamma_{m}}=0\), also \(f(x)\) für \({\mathfrak R}(x)>0\) konvergent; ferner sei für eine Punktmenge \(x_{\nu}\), welche die Bedingungen des vorigen Satzes erfüllt, \(\lim f(x_{\nu})=A\) für \(\nu=\infty\); dann ist \(\lim_{\nu=\infty}\sum_{n=1}^{\mu_{\nu}}a_{n}=A\), wo \(\sum_{m=1}^{n}\frac{1}{\gamma_{m}}=\lambda_{n}\) gesetzt ist und \(\mu=\mu_{\nu}\) diejenige Funktion von \(\nu\) bezeichnet, welche durch die Relationen \(\lambda_{\mu}\leqq\sigma_{\nu}\), \(\lambda_{\mu+1}>\sigma_{\nu}\) definiert ist. Es sei \(\lim_{\omega=\infty}\omega\log\omega\chi(\omega)=0\), also \(J(x)\) mindestens für \({\mathfrak R}(x)>0\) konvergent; es sei ferner für eine Punktmenge \(x_{\nu}\) im Sinne des vorletzten Satzes \(\lim J(x_{\nu})=A\) für \(\nu=\infty\); dann ist \(\lim\int_{1}^{e^{\sigma_{\nu}}}\chi(t)dt\) vorhanden und gleich \(A\).