On the uniform convergence of \textit{Fourier's} series. (Q1493686)

Es sei \(f(x)\) entweder eine endliche oder unendliche (limited or unlimited), für das Intervall \((-\pi,\pi)\) definierte summerbare Funktion. Falls \(f(x)\) unendlich ist, wird es von der Art vorausgesetzt, daß\ das in \textit{Lebesgue}schem Sinne genommene absolute Integral \(\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx\) existiert. Die zu \(f(x)\) gehörende \textit{Fourier}sche Reihe existiert dann in dem Sinne, daß\ die Koeffizienten der Reihe alle eine bestimmte Bedeutung haben. Die Definition von \(f(x)\) wird auf außerhalb des Intervalls \((-\pi,\pi)\) gelegene Werte von \(x\) erweitert durch die Voraussetzung, daß\ \(f(x)\) periodisch sei und die Periode \(2\pi\) habe. Dann gilt der Satz: Jedes der 4 Integrale \[ \int_{\alpha}^{\beta}f(x\pm 2z)\chi(z){\sin \atop \cos} (mz)dz, \] worin \(\chi(z)\) eine Funktion mit beschränkter Schwankung bedeutet und \(0\leqq\alpha<\beta\leqq\frac{1}{2}\pi\) ist, konvergiert, wenn die ganze Zahl \(m\) unendlich wächst, gleichmäßig gegen Null für alle in dem Intervall \((-\pi,\pi)\) enthaltenen Werte von \(x\). der Satz wird verallgemeinert dadurch, daß\ \(\sin(mz)\), \(\cos(mz)\) durch \(\varphi(mz)\) ersetzt werden, wo \(\varphi(z)\) eine endliche summierbare Funktion bedeutet, deren über irgendein endliches Intervall erstrecktes Integral seinem absoluten Betrage nach kleiner ist als eine beliebig festgesetzte, endliche, von dem besonderen Intervall unabhängige Zahl. Besondere Fälle sind unter andern: 1) Wenn \(f(x)\) eine summierbare Funktion ist, die falls die unendlich ist, ein \textit{Lebesgue}sches Integral besitzt, so konvergieren die Koeffizienten der zugehörigen \textit{Fourier}schen Reihe gegen Null, wenn die ganze Zahl \(n\) unendlich wird. 2) Wenn \((a,b)\) ein in \((-\pi,\pi)\) enthaltenes Intervall von der Art ist, daß\ \(f(x)\) in \((a,b)\) mit Einschluß\ der Endpunkte stetig ist, so hängt die gleichmäßige Konvergenz der \textit{Fourier}schen Reihe in \((a,b)\) nur von der Beschaffenheit der Funktion \(f(x)\) in einem Intervall \((a',b')\) ab, das \((a,b)\) in seinem Innern enthält und es hinsichtlich der Länge um eine beliebig kleine Zahl übersteigt. Die Funktion \(f(x)\) kann in dem außerhalb von \((a',b')\) gelegenen Teil von beliebiger Beschaffenheit sein und unterliegt nur der Bedingung, ein \textit{Lebesgue}sches Integral zu haben. Eine hinreichende Bedingung für die gleichmäßige Konvergenz der \textit{Fourier}schen Reihe in einem Intervall \((a,b)\) besteht in der Möglichkeit, ein Intervall \((a',b')\) zu finden, das in seinem Innern \((a,b)\) enthält und so beschaffen ist, daß, wenn \(F_{\beta}\) die Schwankung von \(F(x)\) in einem in \((a',b')\) enthaltenen Unterintervall von der Länge \(\beta\) bezeichnet, wenn \(\beta\) unendlich klein wird. Ist \(f(x)\) in \((a',b')\) endlich, so besteht eine hinreichende Bedingung darin, daß\ die beiden Integrale \[ \int_{0}^{\mu_{1}}\left|\frac{f(x+2z)-f(x)}{z}\right| dz, \quad \int_{0}^{\mu_{1}}\left|\frac{f(x-2z)-f(x)}{z}\right| dz \] existieren und gleichmäßig konvergieren.