Sur la multiplication des séries trigonométriques. (Q1493688)

Wenn die reellen oder komplexen der konvergenten trigonometrischen Reihen \[ f_{1}(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos nx, \quad g_{1}(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\sin nx, \] \[ f_{2}(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\cos nx, \quad g_{2}(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\sin nx \] den beiden folgenden Bedingungen genügen, nämlich erstens \[ \lim_{n=\infty}\sum_{s=1}^{n-1}| a_{s}b_{n-s}|=0, \] zweitens daß\ eine der vier Reihen positiver Glieder \[ \sum_{n=1}^{\infty}| a_{n}\pm a_{n+1}|, \quad \sum_{n=1}^{\infty}| b_{n}\pm b_{n+1}| \] konvergent ist, so können alle Produkte, die man durch Multiplikation einer der vier Reihen \(f_{1}(x)\), \(f_{1}(x-\pi)\), \(g_{1}(x)\), \(g_{1}(x-\pi)\) mmit einer der vier Reihen \(f_{2}(x)\), \(f_{2}(x-\pi)\), \(g_{2}(x)\), \(g_{2}(x-\pi)\) erhält, nach der Multiplikationsregel \textit{Cauchys} entwickelt werden. Sind die Reihen mit alternierenden Gliedern \(\varSigma(-1)^{n-1}a_{n}\) und \(\varSigma(-1)^{n-1}b_{n}\) nach der \textit{Cauchy}schen Regel multiplizierbar, so können alle Produkte der erwähnten trigonometrischen Reihen nach der \textit{Cauchy}schen Regel entwickelt werden. Die Formeln \(f_{1}(x)f_{2}(x)=U_{2}+U_{3}+U_{4}+U_{5}+\cdots, f_{1}(x)g_{2}(x)=U_{2}'+U_{3}'+U_{4}'+U_{5}'+\cdots, g_{1}(x)g_{2}(x)=U^{\prime\prime}_{2}+U^{\prime\prime}_{3}+U^{prime\prime}_{4}+U^{\prime\prime}_{5}+\cdots\), wo \(w_{n}=a_{1}b_{n-1}+a_{2}b_{n-2}+\cdots+a_{n-1}b_{1}\) und \[ \begin{aligned} U_{n} & =\tfrac{1}{2}\,w_{n}\cos nx+\tfrac{1}{2}\sum_{s=1}^{\leqq\frac{n}{2}}{}'(a_{s}b_{n-s}+b_{s}a_{n-s})\cos(n-2s)x,\\ U_{n}' & =\tfrac{1}{2}\,w_{n}\sin nx+\tfrac{1}{2}\sum_{s=1}^{\leqq\frac{n}{2}}(a_{s}b_{n-s}-a_{n-s}b_{s})\sin(n-2s)x,\\ U^{\prime\prime}_{n} & =-\tfrac{1}{2}\,w_{n}\cos nx+\tfrac{1}{2}\sum_{s=1}^{\leqq\frac{n}{2}}(a_{s}b_{n-s}+a_{n-s}b_{s})\cos(n-2s)x,\end{aligned} \] ist, und der Strich hinter dem ersten und dritten Summenzeichen bedeutet, daß\ von dem Gliede, das für ein gerades \(n\) dem Werte \(2s=n\) entspricht, die Hälfte zu nehmen ist, gelten für die im ersten Satze betrachteten trigonometrischen Reihen. Wenn zwei trigonometrische Reihen nach der \textit{Cauchy}schen Regel multiplizierbar sind, so kann das dadurch erhaltene Produkt im allgemeinen nicht nach Sinus und Kosinus der Vielfachen von \(x\) geordnet, d. h. formell in eine gewöhnliche trigonometrische Reihe transformiert werden. Unter den trigonometrischen Reihen mit positiven oder alternierenden Koeffizienten, die nach der \textit{Cauchy}schen Regel multiplizierbar sind, sind die von \textit{Pringsheim} (Mathem. Ann. \textit{26}, 157-166) behandelten die einzigen, deren so erhaltene Produkte formell in gewöhnliche trigonometrische Reihen transformiert werden können.