Sur le développement de l'expression \(\root{m}\of{a}\) en un produit infini. (Q1493720)

Wenn \(a\) eine ganze Zahl \(>1\) und \(x\) eine reelle Zahl \(<1\) ist, so ist \[ a^{x}=\lim_{n=\infty}\prod_{k=1}^{an}\left (1+\frac{\tau(a,k).x}{k-x}\right )=\prod_{k=1}^{\infty}\left (1+\frac{\tau(a,k).x}{k-x}\right ), \] wo \(\tau(a,k)\) eine numerische Funktion der beiden Veränderlichen \(a\) und \(k\) bedeutet, die gleich \(1-a\) oder gleich 1 ist, je nachdem \(k\) durch \(a\) teilbar ist oder nicht. -- Aus dieser Formel folgt: \[ \root{m}\of{a}=\prod_{k=1}^{\infty}\left (1+\frac{\tau(a,k)}{mk-1}\right ). \]