Über die Summierung der Reihe \(\sum_{n>0}^{n\leqq b}\tau(n)f(n)\), wo \(\tau(n)\) die Anzahl der Darstellungen von \(n\) als Summe von zwei Quadraten bezeichnet. (Q1493721)

Den Gegenstand dieser Untersuchung bildet die zweifache Summe \[ S=\varSigma f(m^{2}+n^{2}), \quad \quad \quad a<m^{2}+n^{2}\leqq b, \] wo \(f(n)\) eine im Intervalle \((a,b)\) stetige und differenzierbare Funktion ist. Diese Summe läßt sich als eine einfache Summe \[ \sum_{k=0}^{k\leqq b}\tau(k)f(k) \] darstellen, wo \(\tau(k)\) die Anzahl der Zerlegungen von \(k\) in zwei Quadrate bezeichnet. Als Ausgangspunkt für die Berechnung des asymptotischen Wertes von \(S\) und mehrerer anderer Ausdrücke dient die \textit{Woronoj}sche Formel: \[ (1) \quad \begin{cases} \sum_{n>0}^{n\leqq b}\tau(n)f(n)=\int_{a}^{b}f(u)\vartheta(u)du \\ +\sum_{\lambda=0}^{m-1}(-1)^{\lambda}[\varrho_{\lambda}(b)f^{(\lambda)}(b)-\varrho_{\lambda}(a)f^{(\lambda)}(a)]+(-1)^{m}\int_{a}^{b}\varrho_{m-1}(u)f^{(m)}(u)du.\end{cases} \] wo \(\vartheta(u)\) eine im Intervalle \((a,b)\) stetige Funktion ist, und wo \(\varrho_{k}(x)\), \(k=0\), \(1,2,\dots\) durch die Formel \[ \varrho_{k}(x)=\sum_{n>0}^{n\leqq x}\tau(n)\frac{(x-n)^{k}}{k!}-\left [\int_{0}^{k}\vartheta(u)\;\frac{(x-u)^{k}}{k!}du+A_{0}\;\frac{x^{k}}{k!}+ A_{1}\;\frac{x^{k-1}}{(k-1)!}+\cdots+A_{k}\right] \] mit konstanten Koeffizienten \(A_{0},A_{1}\dots\) ausgedrückt wird. Es handelt sich um eine geeignete Bestimmung von \(\vartheta(u)\) und der genannten Koeffizienten. Für die Berechnung von \[ \varphi_{k}(x)=\sum_{n>0}^{n\leqq x}\tau(n)\;\frac{(x-n)^{k}}{k!} \quad \quad \quad (k=0,1,2\dots) \] wird die verallgemeinerte \textit{Euler-Maclaurin}sche Formel, die man auch aus (1) erhalten kann, benutzt; man bekommt: \[ \varphi_{k}(x)=\frac{\pi x^{k+1}}{(k+1)!}-\frac{x^{k}}{k!}+O\left (x^{\frac{k+1}{2}}\right ) \] Nimmt man in der Formel (1) \(\vartheta(u)=\pi\), \(A_{0}=-1\), \(A_{1}=0\) für \(1>0\) an, so wird: \[ \sum_{n>0}^{n\leqq b}\tau(n)f(n)=\pi\int_{a}f(u)du+\sum_{\lambda=0}^{m-1}(-1)^{\lambda}[\varrho_{\lambda}(b)f^{(\lambda)}(b)-\varrho_{\lambda}(a)f^{(\lambda)}(a)]+(-1)^{m}\int_{a}^{b}\varrho_{m-1}(u)f^{(m)}(u)du, \] wo \(\varrho_{k}(x)=O\left (x^{\frac{k+1}{2}}\right )\). Die vierfache Summe \[ \sum f(m^{2}+n^{2}+p^{2}+q^{2}),\quad a<m^{2}+n^{2}+p^{2}+q^{2}\leqq b \] kann leicht in die einfache \[ \sum_{n>a}^{n\leqq b}\tau_{4}(n)f(n), \] wo \(\tau_{4}(n)\) die Anzahl der Zerlegungen von \(n\) in vier Quadratzahlen bezeichnet, verwandelt werden. Setzt man hier \(f(n)=\frac{(x-n)^{k}}{k!}\), so wird: \[ \varphi_{k_{4}}(x)=\sum_{n>0}^{n\leqq x}\tau_{4}(n)\frac{(x-n)^{k}}{k!}=\sum_{\mu>0}^{\mu\leqq x}\tau(\mu)\varphi_{k}(x-\mu) \] und \[ \varphi_{k_{4}}(x)=\pi\varphi_{k+1}(x)-\varphi_{k}(x)+O\left (x^{\frac{k+1}{2}}\right ). \] Die Formel (1) für \(\vartheta(u)=\pi^{2}u-2\pi\), \(A_{0}=1\), \(A_{1}=0\), \(c=1,2,\dots\) liefert für \[ \varphi_{04}(x)=\sum_{n>0}^{n\leqq x}\tau_{4}(n) \] den Näherungswert \(\pi^{2}\frac{x^{2}}{2}\). Für die zahlentheoretische Funktion \(\tau_{8}(n)\), welche die Anzahl der Zerlegungen von \(n\) in 8 Quadratzahlen bezeichnet, findet man die asymptotische Gleichung \[ \sum_{n>0}^{n\leqq x}\tau_{8}(n)= 16\sum_{n>0}^{n\leqq\infty}n^{3}E\;\frac{x}{n}-32\sum^{n\leqq\infty}_{n>0}n^3 E\;\frac{x}{2n}+ 256\sum_{n>0}^{n\leqq\infty}n^{3}E\;\frac{x}{4n}. \] Von den vielen anderen Formeln heben wir noch die folgenden hervor: \[ K=\lim_{x=\infty}\left (\sum_{n>0}^{n\leqq x}\frac{\tau(n)}{n}-\pi\log x\right)=\pi C-4H; \] \(C\) ist die bekannte \textit{Euler}sche Konstante, \(H\) ist die Summe der Reihe \[ \frac{\log 1}{1}-\frac{\log 3}{3}+\frac{\log 5}{5}-\cdots=0,192901316797\dots, \] und daher wird: \[ K=2,5849817596 \] Die Koeffizienten der ganzen Funktion \[ G(x)=\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}x^{2n}=\frac{\sin 2\pi x}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x\tau(n)}{x^{2}-n^{2}}, \] welche für ganzzahlige \(x=n\) gleich \(\tau(n)\) ist, kann man durch die Formel \[ A_{n}=\sum_{\mu=0}^{n-1}(-1)^{\mu+1}\;\frac{2^{2\mu+1}. \pi^{2\mu}}{(2\mu+1)!}\;F(2n-2\mu) \] bestimmen, wo \[ F(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\tau(n)}{n^{s}} \quad \quad \quad \quad ({\mathfrak R} (s)>1). \] Für die zwei Funktionen \(\tau(n^{2})\) und \(\tau^{2}(n)\) gelten die Formeln: \[ \sum_{n>0}^{n\leqq x}\tau(n^{2})=Ax\log x+Bx+O(\root{3}\of{x^{2}}, \] wo \[ A=\frac{4}{\pi}, \quad B=\frac{4}{\pi}\left (C+\frac{K}{\pi}- \frac{12}{\pi^{2}}\;F+\frac{\log 2}{3}-\frac{1}{\pi}\right ), \] \[ F=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\log n}{n^{2}}=0,9375482543; \] \[ \sum_{n>0}^{n\leqq x}\tau^{2}(n)=4x\log x+\left (\frac{8K}{\pi}- \frac{48}{\pi^{2}}\;F+\frac{4}{3}\;\log 2-4\right )x+O\root{4}\of{x^{3}}\log x. \]