Über die Multiplikation \textit{Dirichlet}scher Reihen. (Q1493722)

Unter einer \textit{Dirichlet}schen Reihe versteht man die Reihe \[ \sum_{n=1}^{\infty}\;\frac{a_{n}}{n^{s}}\,, \] wo die \(a_{n}\) gegebene komplexe Konstanten, \(s\) eine komplexe Variable und \(n^{s}=e^{s\text{\,lg\,}n}\) für den reellen Wert des Logarithmus ist. Der Verf. stellt sich das Problem: Es seien 2 solche Reihen: \[ (1)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}}{n^{s}} \quad \text{und} \quad (2) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{b_{n}}{n^{s}} \] für \(R(s)>\sigma\) konvergent. In welchem Bereich ist das Produkt derselben oder die \textit{Dirichlet}sche Reihe: \[ (3) \quad \quad =\frac{a_{1}b_{1}}{1^{s}}+\frac{a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}}{2^{s}}+\frac{a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}}{3^{s}}+\frac{a_{1}b_{4}+a_{2}b_{2}+a_{4}b_{1}}{4^{s}}+\cdots \] konvergent? Das erste Resultat lautet, wenn außer den Reihen (1) und (2) auch die Reihe \[ \sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{a_{n}}{n^{s}}\right| \] konvergiert, so konvergiert (3) und ist gleich dem Produkt der Summen von (1) und (2). Dieser Satz erlaubt mannigfaltige Anwendungen auf die zahlentheoretischen Funktionen. Der Verf. geht dann zum Beweis der \textit{Stielties}schen Konvergenzsätze über, deren einen er wesentlich erweitert: Es sei (1) für \(s=\varrho\) konvergent, für \(s=\varrho+\tau\) absolut konvergent, (2) für \(s=\varrho'\) konvergent, für \(s=\varrho'+\tau'\) absolut konvergent. Dann konvergiert (3) für \[ s=\frac{\varrho\tau'+\varrho'\tau+\tau\tau'}{\tau+\tau'}. \] Für \textit{Dirichlet}sche Reihen gilt auch das Analogon zum \textit{Abel}schen Satze: Konvergiert (1), (2) und (3) für \(R(s)>\sigma\), so ist für diesen Bereich \[ (1).(2)=(3). \] Ist \(\gamma_{n}\) das \(n\)-te Glied von (3), so ist eine hinreichende Bedingung der Konvergenz von (3) gegeben durch \(\lim_{n=\infty}n\text{\,lg\,}n\gamma_{n}=0\). Die folgenden Paragraphen wenden diese Theorie auf die nachstehenden zahlentheoretischen Probleme an: Darstellung der Anzahl der Idealklassen eines algebraischen Zahlkörpers. Relation der Anzahl \(\varrho(n)\) der Primfaktoren von \(n\). Beweis der Formel \[ \sum_{n=1}^{\infty}\;\frac{\mu(n)\varrho(n)}{n}=0. \] Das analytische Verhalten von \(\sum_{(p)}x^{p}\) und \(\sum_{(p)}\frac{1}{p^{s}}\).