Über asymptotische Darstellungen der Lösungen linearer Differentialsysteme als Funktionen eines Parameters. (Q1493806)

Wenn der Punkt \(x=\infty\) eine isolierte Unbestimmtheitsstelle der Lösungen einer linearen Differentialgleichung oder eines Systems linearer Differentialgleichungen erster Ordnung ist, so kommt, wie \textit{Poincaré} gezeigt hat, den nach fallenden Potenzen von \(x\) fortschreitenden \textit{Thomé}schen Normalreihen, die den Differentialgleichungen formell genügen, aber im allgemeinen divergent sind, die Bedeutung zu, daß\ sie für große Werte von \(x\) gewisse Integrale asymptotisch darstellen. Hängen die Koeffizienten der Differentialgleichung oder des Differentialsystems von einem Parameter \(\mu\) so ab, daß\ der Punkt \(\mu=\infty\) eine isolierte Unbestimmtheitsstelle der Integrale ist, so kann man Reihenentwickelungen aufstellen, die in bezug auf \(\mu\) eine ähnliche Struktur aufweisen wie die \textit{Thomé}schen Normalreihen in bezug auf \(x\), und denen die Eigenschaft zukommt, daß\ sie gewisse Lösungssysteme für große Werte von \(\mu\) asymptotisch darstellen. Für gewisse lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung hat \textit{Horn} (Math. Ann. 52, 271 ff. und 340 ff.; ''F. d. M. 30, 300, 1899, siehe JFM 30.0300.01 u. JFM 30.0300.02'') die nach einem Parameter fortschreitenden formalen Entwicklungen betrachtet und ihre Eigenschaft, für reale Werte der unabhängigen Veränderlichen und für große Werte des Parameters die asymptotische Darstellung gewisser Lösungssysteme zu liefern, mit Hülfe der Methode der sukzessiven Annäherungen nachgewiesen. Verf. nimmt in der vorliegenden Arbeit die Untersuchung für ein beliebiges lineares Differentialsystem und für beliebige komplexe Werte der unabhängigen Variable in Angriff. Als bemerkenswert sind die folgenden Ergebnisse hervorzuheben: Der Nachweis der asymptotischen Darstellung läßt sich durch vorübergehende Verschmelzung des Parameters mit der unabhängigen Variable auf das fundamentale \textit{Poincaré}sche Lemma (American J. 7, 2)4-209, 1885) gründen, in ähnlicher Weise, wie es \textit{Horn} (Acta Math. 24, 289 ff.; F. d. M. 32, 326, 1901, JFM 32.0326.01) für den Fall der \textit{Thomé}schen Normalreichen durchgeführt hat. -- Wenn die Koeffizienten des Differentialsystems rationale Funktionen der unabhängigen Variable sind, so spielen gewisse algebraische Funktionen (die Wurzeln der charakteristischen Gleichung) und die zu diesen gehörigen \textit{Abel}schen Integrale eine bedeutsame Rolle; die letzteren reduzieren sich in einem besonders wichtigen Spezialfalle auf Integrale erster Gattung. -- Die vom Verf. gefundenen asymptotischen Darstellungen gewähren vollständige Einsicht in die Natur der Grenzfälle, die auftreten, wenn man sich (vgl. das vorangehende Referat, JFM 38.0352.02) der Kontinuitätsmethode bedient, um die Existenz der durch das \textit{Riemann}sche Problem postulierten Funktionssysteme zu erweisen, und aus dem Streben nach dieser Einsicht sind die hier mitgeteilten Untersuchungen des Verf. erwachsen. -- Ein Auszug aus der vorliegenden Arbeit ist in den C. R. 142, 1031-1033 (F. d. M. 37, 345, 1906, JFM 37.0345.02) erschienen.