Die Rationalitätsgruppe einer linearen homogenen Differentialgleichung. (Q1493811)

Verf. behandelt in dem vorliegenden Aufsatze von neuem eingehend die Grundlagen der \textit{Picard-Vessiot}schen Theorie, um durch seine Darstellung die dem Gegenstand bisher gewidmeten Untersuchungen mehrfach zu ergänzen und zu vervollständigen. Er beschränkt sich in dieser Arbeit darauf, nach genauer Fixierung eines Rationalitätsbereiches \(\varSigma\) (der alle Konstanten umfaßt, aber die unabhängige Variable nicht zu enthalten braucht) die Existenz der zu einer linearen homogenen Differentialgleichung \((D)\) gehörigen Rationalitätsgruppe nachzuweisen. Das Problem wird aus dem Gegenstand heraus in elementarer Weise, ohne Benutzung von Sätzen aus \textit{Lie}s Theorie der Transformationsgruppen, auf der Grundlage des \textit{Koenigsberger}schen Reduktibilitätssatzes (\(\S\) 1) (Allgemeine Untersuchungen aus der Theorie der Differentialgleichungen, Leipzig 1882, S. 5) entwickelt. Im Mittelpunkte der Arbeit steht die im \(\S\) 2 eingeführte Differentialgleichung \(f=0\), welche die gleiche Rolle spielt wie die in speziellerer Weise gewonnene Differentialgleichung \(f=0\) bei \textit{Picard} (Traité d'analyse 3, 534, Paris 1896) und die Gleichung (21) \(\varTheta(u)=0\) bei \textit{Schlesinger} (Handbuch der Theorie der linearer Differentialgleichungen \(2_{1}\), 65); ihre Ordnung ist durch die Gleichung \((D)\) und den Rationalitätsbereich \(\varSigma\) eindeutig bestimmt. In \(\S\) 3 und \(\S\) 4 wird diese Differentialgleichung nebst den mit ihr gleichberechtigen Gleichungen, welche dieselbe Ordnung haben, ihrer Natur nach näher untersucht und der Zusammenhang ihrer Integrale mit denen von \((D)\) eingehend studiert. Hierauf wird die zu \((D)\) gehörige Rationalitätsgruppe behandelt: es wird die Gesamtheit \(\mathfrak G\) aller linearen homogenen Substitutionen von verschwindenen und nicht verschwindenen Determinanten betrachtet, die man auf ein bestimmt gewähltes Fundamentalsystem \(y_{1},y_{2},\dots,y_{m}\) der Gleichung \((D)\) anwenden kann, so daß\ hierdurch alle richtigen Gleichungen, die \(y_{1},y_{2},\dots,y_{m}\) und deren Ableitungen ganz und rational enthalten und Koeffizienten aus \(\varSigma\) besitzen, in ebenfalls richtige Gleichungen übergehen (\(\S\) 5). Durch Satz XII des \(\S\) 8, der das Hauptresultat enthält, werden dann diejenigen Substitutionen aus \(\mathfrak G\), deren Determinanten nicht verschwinden, schärfer als bisher bestimmt -- ihre Gesamtheit \({\mathfrak G}_1\) ist die Rationalitätsgruppe von \((D)\); von ihr wird noch bewiesen, daß\ sie neben jeder Transformation die reziproke enthält. Bei dieser Definition von \({\mathfrak G}_1\) läßt sich unter anderem der Gebrauch der von \textit{Picard} (l. c. 534) und \textit{Schlesinger} (l. c. Gl. (20)) mit \(\varphi=0\) bezeichnet Hülfsdifferentialgleichung umgehen. -- Die Arbeit ist so abgefaßt, daß\ sie ohne Benutzung anderer Abhandlungen verständlich ist.