Sopra una classe di trascendenti meromorfe. (Q1493843)

\textit{Picard} hatte gezeigt (F. d. M. 25, 713, 1894, JFM 25.0713.02 und 31, 427, 1900, JFM 31.0427.02), daß\ es Systeme von \(m\) eindeutigen Funktionen \(f_{1}(x),\dots,f_{m}(x)\) gibt, die in einer Halbebene meromorph sind, die Periode \(\omega'i\) haben und den Funktionalgleichungen genügen: \[ f_{\mu}(x+\omega)=R_{\mu}(f_{1}(x),\dots,f_{m}(x)) \quad \quad (\mu=1,2,\dots,m), \] wo die Gleichungen \(f_{\mu}'=R_{\mu}(f_{1},\dots,f_{m})\) eine birationale Transformation darstellen. \textit{Levi} stellt sich nun die ähnliche Aufgabe, alle Funktionen \(f(x)\) mit der einen wesentlich singulären Stelle Unendlich zu finden, die den Funktionalgleichungen \[ f(x+\omega)=f(x), \quad f(x+\omega_{1})=R(f(x)) \] genügen, in denen \(\omega\) und \(\omega_{1}\) beliebige Konstanten bedeuten, während \(R(f)\) eine rationale Funktion von \(x\) bezeichnet. Mittels der Substitution \(u=e^{2\pi ix/\omega}\) wird die Aufgabe auf die äquivalente zurückgeführt, alle Funktionen \(g(u)\) der komplexen Veränderlichen \(u\) zu finden, die höchstens die Punkte \(u=0\) und \(u=\infty\) zu wesentlich singulären Punkten haben und der Funktionalgleichung \(g(mu)=R(g(u))\) genügen, in der \(m\) eine beliebige Konstante sein soll. Ein ähnliches Problem war von \textit{Poincaré} behandelt worden (F. d. M. 22, 420, 1890, JFM 22.0420.01), jedoch unter gewissen Einschränkungen für den Wert von \(m\) und die Stelle \(u=0\). Wie \textit{Levi} zeigt, sind die gesuchten Funktionen von Funktionen der \textit{Poincaré}schen Klasse oder lineare gebrochene Funktionen von Funktionen \(h(u)\), die einer Gleichung der Form \[ h(mu)=Ah(u)+B \] genügen; \(A\) und \(B\) sind Konstanten. Diese Funktionen \(h(u)\) fallen verschieden aus, je nachdem das Verhältnis \(\omega:\omega_{1}\) rational ist oder einen komplexen Wert hat; für einen reellen irrationalen Wert hat das Problem keine Lösung. Ist in dem ersten Falle \(\omega:\omega_{1}=p:q\), wo die ganzen Zahlen \(p\) und \(q\) relativ prim sind, so wird: \(h(u)=u^{r}k(u^{p})\), wo \(r\) eine ganze Zahl zwischen 0 und \(q\) ist uns \(k\) irgendeine meromorphe Funktion bedeutet. In dem zweiten Fall erhält man entweder Funktionen des Typus: \[ \frac{\sigma(x)}{\sigma\left (x-\frac{c\omega}{2\pi i}\right )}e^{-\frac{c\eta}{2\pi i}x}\;\varepsilon(x) \] oder des Types: \[ c[-\omega\zeta(x)+\eta x]+\varepsilon(x). \] Hierin haben die Zeichen \(\sigma\) und \(\zeta\) die bekannte Bedeutung, die primitiven Perioden sind \(\omega\) und \(\omega_{1}\); \(c\) ist eine beliebige Konstante und endlich \(\varepsilon(x)\) eine beliebige elliptische Funktion erster Art mit den Perioden \(\omega\) und \(\omega_{1}\). Den Schluß\ der Abhandlung bilden Bemerkungen über die Verallgemeinerung dieser Ergebnisse teils auf Systeme von Funktionen einer Veränderlichen, teils auf Funktionalgleichungen mit einer unbekannten Funktion.