The inversion of a definite integral. (Q1493858)

Die von \textit{Abel} aufgestellte Funktionalgleichung: \[ f(s)=\int_{a}^{b}K(s,t)g(t)dt, \] in der \(f(s)\) und \(K(s,t)\) gegeben sind, während \(g(t)\) bestimmt werden soll, läßt sich zwar auf die lineare Intergleichung \[ \lambda f(s)=g(s)+\lambda\int_{a}^{b}K(s,t)g(t)dt \] zurückführen, in die sie für \(\lambda=\infty\) übergeht; allein es ist schwierig, die bekannten Lösungen auf diesen Grenzfall anzuwenden, und man muß\ daher eine besondere Untersuchung anstellen. In \(\S\) 1 werden unter gewissen Voraussetzungen für den Kern \(K(s,t)\) Bedingungen hergeleitet, denen die Funktion \(f(s)\) genügen muß, damit eine Lösung \(g(t)\) existiert. Es folgt in \(\S\) 2 die Diskussion eines besonderen Falles, nämlich des Falles: \[ K(s,t)=(1-2ts+s^{2})^{-n/2}, \] in dem sich die Lösung aus der Potentialtheorie ergibt. Den Schluß\ (\(\S\) 3, 4) bilden Betrachtungen über lineare Integralgleichungen zweiter Art; im besonderen handelt es sich um das Problem von \textit{Hilbert}, den Kern \(K(s,t)\) so zu bestimmen, daß\ die zugehörige Integralgleichung: \[ g(s)=\lambda\int_{a}^{b}K(s,t)g(t)dt \] für einen gegebenen Satz von Funktionen \(\psi_{n}(s)\) und von Eigenwerten \(\lambda_{n}\) erfüllt wird. \textit{Hilbert} hatte bewiesen, daß\ man eine Lösung erhält, wenn das System der Funktionen \(\psi_{n}(s)\) orthogonal ist und die Reihe \[ \sum_{n=0}^{\infty}\,\frac{1}{\lambda_{r}}\;\psi_{n}(s)\psi_{n}(t) \] gleichförmig konvergiert. \textit{Batemann} zeigt an einem Beispiel, daß\ die Bedingung der gleichförmigen Konvergenz zwar hinreichend, aber nicht notwendig ist.