Invarianti differenziali dei sistemi di due equazioni lineari ed omogenee a derivate parziali del primo ordine. (Q1493881)

Den Gegenstand der Untersuchung bilden zwei Systeme je zweier homogenen linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung in bezug auf zwei Funktionen \(u\) und \(v\), das eine in den unabhängigen Veränderlichen \(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\), das andere in \(x_{1}',x_{2}',\dots,x_{n}'\); Zweck der Untersuchung ist die Aufstellung der Bedingungen für die Transformierbarkeit der beiden Systeme durch Transformation der unabhängigen Veränderlichen. Zu diesem Zweck werden zwei quadratische Formen \(\varphi=\sum_{1}^{n}{}_{r_{s}}a_{r_{s}}dx_{r}dx_{s}\), \(\varphi'=\sum_{1}^{n}{}_{r_{s}}a_{r_{s}}'dx_{r}'dx_{s}'\) betrachtet, in denen die \(a_{r_{s}}\) und \(a_{r_{s}}'\) gewisse Funktionen der Koeffizienten des Systems in den \(x\) und des in den \(x'\) sind. Wird \(\varphi\) und \(\varphi'\) als irreduzibel vorausgesetzt, so gelingt es unter gewissen Bedingungen, zwei mit den gegebenen äquivalente Gleichungssysteme zu bestimmen, für welche die algebraischen Invarianten ihrer Koeffizienten gleich 1 sind: Verf. nennt sie die kanonischen Systeme. Sind \(\varphi\) und \(\varphi'\) außerdem wesentlich positiv, so lassen sie sich als die \(ds^{2}\) zweier \(n\)-dimensionalen Mannigfaltigkeiten \(V_{n}\) und \(V_{n}'\) interpretieren, und die Koeffizienten der auf die kanonische Form reduzierten Systeme als die zugeordneten kontravarianten Kongruenzsysteme der in diesen Mannigfaltigkeiten gezogenen Linien. Die Aufsuchung der Transformationen, welche das eine System in das andere überführen, ist auf diese Weise auf die Untersuchung derjenigen Transformationen zurückgeführt, welche \(\varphi\equiv\varphi'\) machen und dadurch bewirken, daß\ \(V_{n}\) und \(V_{n}'\) auf einander abwickelbar sind. -- Damit ist das Problem nicht erschöpft, sondern man muß\ weiter die starren Verschiebungen der Mannigfaltigkeiten bestimmen, durch welche ein System von \(\infty'\) in \(V_{n}\) beschriebenen Flächen mit einem entsprechenden in \(V_{n}'\) beschriebenen Systeme zur Koinzidenz kommt und, für \(n<7\), \(k=4n-\frac{1}{2}n(n+1)\) Linienkongruenzen der einen Mannigfaltigkeit mit den entsprechenden der anderen zur Koinzidenz gelangen. -- Sind \(\varphi\) und \(\varphi'\) irreduzibel, aber nicht wesentlich positiv, so ist die vorhergehende geometrische Interpretation nicht mehr möglich; gleichwohl kann das Problem auf die Bestimmung der Transformtionen, welche \(\varphi\equiv\varphi'\) machen, zurückgeführt werden (Unterscheidung der Fälle \(n\geqq 7\) und \(n<7\)). Ist dagegen \(\varphi\) und \(\varphi'\) reduzibel oder die Reduktion der gegebenen Systeme auf die kanonische Form unmöglich, so führen die vorangehenden Methoden nicht zum Ziele; man müßte in diesen Fällen das Problem direkt angreifen, indem man die Transformationen bestimmt, durch welche die Koeffizienten des einen Systems mit denen des anderen identisch werden. Abgesehen von diesen Fällen ist das Problem in letzter Reihe auf die Bestimmung der absoluten Invarianten der Gleichungssysteme von dem gegeben Typus zurückgeführt, und diese Bestimmung ist in der Reduktion der Systeme auf die kanonische Form implizite enthalten. -- Verf. bedient sich bei dieser Untersuchung mit Vorteil der Benennungen und Methoden des absoluten Differentialkalküls.