Sulle equazioni lineari totalmente ellittiche alle derivate parziali. (Q1493907)

Es handelt sich um die lineare partielle Differentialgleichung \[ F(z)\equiv\varLambda(z)+\sum_{i,k}^{}B_{ik}(x,y)\frac{\partial^{i+k}z}{\partial x^{i}\partial y^{k}}=F(x,y) \quad \quad (i+k\leqq 2n-1),\tag{1} \] wo \[ \varLambda(z)=\sum_{l+m=2n}^{}a_{lm}(x,y)\;\frac{\partial^{2n}z}{\partial x^{l}y^{m}}\,. \] Die Koeffizienten sind in einem Bereiche \(C\) der Ebene \(x,y\) nebst ihren Ableitungen bis zu einer genügend hohen Ordnung endliche und stetige Funktionen; \[ G(u)\equiv\varLambda(u)+ \sum_{i,k}^{}b_{i,k}\;\frac{\partial^{i+k}u}{\partial x^{i}\partial y^{k}}=0\tag{2} \] ist die zu (1) adjungierte Gleichung. Wenn dann \(z\) und \(u\) nebst ihren Ableitungen bis zur \(2n\)-ten Ordnung in einem im Innern von \(C\) gelegenen Gebiete \(\varGamma\) mit der Begrenzung \(\gamma\) endlich und stetig existieren, so hat man \[ \iint_{\varGamma}[uF(z)-zG(u)]dx\,dy=\int_{\gamma}[M\,dy-N\,dx],\tag{3} \] wo \(M\) und \(N\) bilineare Ausdrücke in \(z,u\), nebst ihren Ableitungen bis zur \((2n-1)\)-ten Ordnung sind. Ist \(z\) Lösung von (1) und \(u\) Lösung von (2), so wird aus (3) \[ \iint_{\varGamma}uF(x,y)dx\,dy=\int_{\gamma}[M\,dy-N\,dx].\tag{4} \] Es wird nun vorausgesetzt, daß\ eine ``Grundlösung'' von (2) existiert, d. h. eine Funktion \(u(x,y;x_{1},y_{1})\), die noch von einem Punkte \((x_{1},y_{1})\) abhängt, und die für \((x,y)\neq(x_{1},y_{1})\) endliche und stetige Ableitungen bis zur \(2n\)-ten Ordnung besitzt, während für \((x,y)\equiv(x_{1},y_{1})\) die Ableitungen \((2n-1)\)-ter Ordnung von erster Ordnung unendlich werden. Dann ergibt die Anwendung von (4) auf ein Gebiet \(C\)-\(\tau\), wo \(\tau\) ein kleiner \((x_{1},y_{1}\) ausschließ\ ender Kreis ist, wenn \(\tau\) gegen Null konvergiert: \[ z(x_{1},y_{1})=A(x_{1}, y_{1}) \left\{\int\int_{C}uF(c,y)dx\,dy+\int_{C}[Mdy-Ndx]\right\}.\tag{5} \] \(A\) ist dabei eine von \(u(x,y;x_{1},y_{1})\), aber nicht mehr von \(z\) abhängende Funktion. Im ersten Teil wird die Existenz der Fundamentallösung bewiesen. Im zweiten Teil wird aus (5) eine Folgerung auf den analytischen Charakter der die Gleichung (1) befriedigenden Funktion \(z\) gezogen; und im dritten Teil wird ausgeführt, wie die Methode auf Systeme von Differentialgleichungen, die (1) ähnlich gebildet sind, ausgedehnt werden kann.