Sur les solutions singulières des équations de \textit{Raffy}. (Q1493909)

In seiner Arbeit: ``Sur certaines équations différentielles d'ordre supérieur analogues à l'équation de Clairaut'' im S. M. F. Bull. 25, 71-72 (F. d. M. 28, 291, 1897, JFM 28.0291.03) betrachtet \textit{Raffy} die Differentialgleichung \[ \varphi_{0}=F\left (\frac{\partial\varphi_{0}}{\partial x},\frac{\partial^{2}\varphi_{0}}{\partial x^{2}},\dots,\frac{\partial^{m}\varphi_{0}}{\partial x^{m}}\right ), \] wo \[ \varphi_{0}=y-xy'+\frac{x^{2}}{2!}\;y''-\cdots+\frac{(-x)^{m}}{m!}\;y^{(m)} \] ist, und zeigt, daß\ ihr allgemeines Integral die Form hat \[ h=-C_{1}x+\frac{C_{2}}{2!}\;x^{2}+\cdots+\frac{(-1)^{m}C_{m}}{m!}\;x^{m}+F(C_{1},C_{2},\dots,C_{m}). \] Die Gleichungen von \textit{Raffy} haben analog der von \textit{Clairaut} die Eigenschaft, nach der Differentiation in zwei neue zu zerfallen, von denen die eine, \(dy^{m}=0\), das allgemeine Integral gibt. In Verfolgung der Analogie mit der \textit{Clairaut}schen Gleichung zeigt der Verf., daß\ die gemeinsamen Lösungen der zweiten aus der Differentiation hervrgehenden Gleichung und der gegebenen Gleichung mit den singulären Lösungen zusammenfallen, und daß\ diese singulären Lösungen eine gewisse geometrische Interpretation zulassen. Im besonderen behandelt er noch die spezielle \textit{Raffy}sche Gleichung \[ \varphi_{0}=F\left (\frac{\partial^{p}\varphi_{0}}{\partial x^{p}}\right). \]