Lagrange's multiplier rule in the calculus of variations for the case of mixed conditions and the accompanying limit equations for variable and end points. (Q1493916)

Den von \textit{Hilbert} für den Fall, daß\ die Nebenbedingungen sämtlich Differentialgleichungen sind, gegebenen Beweis der \textit{Lagrange}schen Multiplikatorenregel (F. d. M. 36, 426, 1905, JFM 36.0426.02) dehnt der Verf. auf den Fall gemischter Nebenbedingungen und variabler Endpunkte aus: Es soll das Integral \[ J=\int f(y_{1},\dots,y_{n},y_{1}',\dots,y_{n}')dt \] zu einem Minimum gemacht werden, wenn die zulässigen Kurven \[ y_{i}=y_{i}(t) \quad \quad \quad (i=1,2,\dots,n) \] den \(p\) Differentialgleichungen \[ (1) \quad \quad \quad \varphi_{\alpha}(y_{1},\dots, y_{n},y_{1}',\dots,y_{n}')=0 \quad \quad (\alpha=1,2,\dots,p) \] und den \(q\) endlichen Gleichungen \[ (2) \quad \quad \quad \psi_{\beta}(y_{1},\dots,y_{n})=0 \quad \quad \quad (\beta=1,2,\dots,q) \] genügen, wobei \(p+q=m<n-1\) vorausgesetzt wird; die Koordinaten der beiden Endpunkte der zulässigen Kurvenbogen sollen noch \(r\) Bedingungsgleichungen genügen. Der Verf. gibt einen den jetzigen Ansprüchen an Strenge genügenden Beweis der \textit{Lagrange}schen Multiplikatorenregel, daß, wenn \[ \varOmega=l_{0}f+\sum_{\alpha}\lambda_{\alpha}\varphi_{\alpha}+\sum_{\beta}\mu_{\beta}\psi_{\beta} \] gesetzt wird, die Konstante \(l_{0}\) und die Funktionen \(\lambda_{\alpha}\), \(\mu_{\beta}\) sich so wählen lassen müssen, daß\ die Funktionen \(y_{i}(t)\) außer den Bedingungen (1) und (2) noch den \(n\) Differentialgleichungen \[ \frac{\partial\varOmega}{\partial y_{i}}-\frac{d}{dt}\;\frac{\partial\varOmega}{\partial y_{i}'}=0 \] genügen müssen. Ferner leitet er in strenger Weise die Grenzgleichungen für die Endpunkte der gesuchten Kurve in der Form ab, wie sich diese Gleichungen aus der mechanischen Anwendung des \textit{Lagrange}schen Variations-Algorithmus ergeben würden. Bei seiner Untersuchung gelingt es zugleich dem Verf., den \textit{Hilbert}schen Beweis der Multiplikatorenregel in einem wesentlichen Punkte zu vereinfachen.