On a theorem of routh and a related problem in the calculus of variations. (Q1493924)

Ein materieller Punkt bewege sich in der Ebene mit der vorgegebenen Energie \(h\) unter dem Einflusse von Kräften, die die Kräftefunktion \(V(x,y)\) besitzen. Man kann seine Bahn zwischen den beiden vorgegebenen Punkten \(A\) und \(B\) erhalten, indem man die Extremalen des Integrales der kleinsten Wirkung \[ J=\int\sqrt{h-V(x,y)}\,ds \] aufsucht; unter ihnen müssen, wie in der Mechanik bewiesen wird, die Bahnkurven sein. Wenn es nun aber außer den \(A\) mit \(B\) verbindenden Extremalen noch Kurven gibt, die \(J\) zu einem Minimum machen, so sind diese keine Bahnkurven, und folglich liefert nicht jedes Minimum \(J\) eine Bahnkurve. Ein von \textit{Routh} aufgestellter Satz zeigt nun, daß\ es tatsächlich Kurven gibt, die dem Integral der kleinsten Wirkung einen kleinsten Wert erteilen, ohne doch Bahnkurven zu sein. Da andrerseits bekanntlich nicht alle Bahnkurven dem Integrale \(J\) einen kleinsten Wert erteilen, so folgt, daß\ die Begriffe ``Bahnkurve'' und ``Kurve kleinster Wirkung'' sich nicht decken. In einer später erschienenen Berichtigung (Math. Ann. 66, 416) weist der Verf. darauf hin, daß\ der in der vorstehenden Mitteilung gegebene Beweis des \textit{Routh}schen Satzes nur für solche mechanischen Probleme richtig ist, für welche die orthogonalen Trajektorien der Niveaukurven ebene Bahnkurven sind. In der vorstehenden Abhandlung ist daher an Stelle von ``orthogonale Trajektorie'' immer ``Bahnkurve, die auf der Grenzkurve \(h-V\) senkrecht steht'', zu setzen.