Sur de nouvelles de sommabilité. (Q1493951)

Der Verf. entwickelt in der Arbeiten, deren Resultate in C. R. im voraus angezeigt waren (JFM 38.0423.03, JFM 38.0423.04 u. JFM 38.0423.05), eine Summationsmethode, die als Spezialfall diejenige von \textit{E. Borel} enthält. Der Grundgedanke seiner Arbeit ist etwa dieser: Sei \(F(z)\) eine im Kreise \(C\) definierte analytische Funktion, so setzt er \[ s_{n}=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}^{}F(z)\left (\frac{1}{z}+\cdots+\frac{x^{n}}{z^{n+1}}\right )dz=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}^{}F(z)\;\frac{z^{n-1}-x^{n+1}}{z-x}\;\frac{dz}{z^{n+1}}; \] ist ferner \(f(\zeta,\xi,x)\) eine Funktion der drei komplexen Variabeln und \(\varGamma\) ein Kreis in der \(\zeta\)-Ebene um deren Nullpunkt, so bezeichnet er mit \(c_{n}\) den \(n\)-ten Koeffizienten der Potenzreihe in \(\zeta\): \[ \frac{1}{2\pi i}\int_{\varGamma}\frac{f(\zeta,\xi,x)d\zeta}{\zeta-\xi}=\frac{1}{2\pi i}\int_{\varGamma}f(\zeta,\xi,x)\left (\frac{1}{\zeta}+\frac{\xi}{\zeta^{2}}+\cdots\right )d\zeta, \] und betrachtet die unendliche Summe \[ \sum_{n}^{}c_{n}s_{n}=\left (\frac{1}{2\pi i}\right )^{2}\int_{C}\int_{\varGamma}\frac{F(z)f(\zeta,\xi,x)}{(\zeta-\xi)\left (z-\frac{\xi x}{\zeta}\right )}d\zeta dz. \] Ist \(F(z)\) regülar innerhalb \(C\), so nimmt diese Formel folgende einfache Gestalt an: \[ \sum_{n}c_{n}s_{n}=\frac{1}{2\pi i}\int_{\varGamma}F\left (\frac{\xi x}{\zeta}\right)f(\zeta,\xi,x)\frac{d\zeta}{\zeta-xi}, \] von der der Verf. zeigt, daß\ sie eine Verallgemeinerung der \textit{Borel}schen Formel ist. Ist schließlich \[ F\left(\frac{\xi x}{\zeta}\right)f(\zeta,\xi,x)=H(\zeta,\xi,x) \] regulär in bezug auf \(\zeta\) in \(\varGamma\) für bestimmte Werte \(\xi,x\), so besteht die überaus einfache Relation \[ F(x)=\frac{1}{f(\zeta,\xi,x)}\sum_{n}c_{n}s_{n}. \] In den beiden letzten Arbeiten behandelt der Verf. analytische Funktionen, die innerhalb eines Kreisringes definiert sind, nach denselben Prinzipien und erhält am Schluß\ wieder bekannte Summationsmethoden (\textit{Cesàro}) als Spezialfälle.