Sullo sviluppo delle funzioni implicite. (Q1493974)

Um die Entwicklung der durch die Gleichung \(y-x+\varphi(y)=0\) definierten impliziten Funktion \(y\) von \(x\) herzustellen, kann man sich bekanntlich der \textit{Taylor}schen oder der \textit{Lagrange}schen Reihe bedienen, deren jede ihre besonderen Vorzüge und Mängel besitzt. Diesen Entwicklungen stellt der Verf. eine neue an die Seite. Wird \(y=u(x)\) als Lösung obiger Gleichung angenommen, unter der Voraussetzung, daß\ \(1+\varphi(y_{0})\neq 0\) ist, so läßt sich, wie Verf. zeigt, eine endliche und stetige Funktion \(f\) von \(u(x)\) darstellen in der Form \[ f(u)=f(x)+\sum_{1}^{m-1}(-1)^{m} \frac{\varphi^{m}(x)}{m!}\;D_{x}^{m}f(x)+R_{n}, \] wo \[ R_{n}=\frac{1}{(n-1)!}\int_{x_{1}}^{x}(x-\xi)^{n-1} \cdot\frac{d^{n}f(u(\xi))}{d\xi^{n}}\;d\xi. \] Diese Formel läßt sich verallgemeinern; auch fügt Verf. noch Entwicklungen hinzu, die sich bei Auflösung obiger Gleichung mittels sukzessiver Approximationen ergeben.