Über polynomische Entwicklungen II. (Q1493981)

In einer früheren Abhandlung (F. d. M. 34, 430, 1903) hatte \textit{Faber} gezeigt, daß\ man eine analytische Funktion \(F(x)\), die in einem einfach zusammenhängenden, endlichen, von einem einzigen regulären Kurvenzuge begrenzten Gebiete \(S\) überall regulär ist, für alle Punkkte des Innern von \(S\) in der Form einer Summe von Polynomen: \[ F(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}P_{n}(x) \] darstellen kann, wo die Polynome \(P_{n}(x)\) ausschließlich von dem gegebenen Regularitätsgebiete \(S\) abhängen, dagegen die Koeffizienten \(a_{n}\) allein durch die zu entwickelnde Funktion \(F(x)\) bestimmt werden. Schon damals hatte \textit{Faber} auf die Ähnlichkeit dieser polynomischen Entwicklungen mit den Reihen, die nach Kugelfunktionen einer komplexen Veränderlichen fortschreiten, hingewiesen und in Aussicht gestellt, seinen Satz so zu erweitern, daß\ er auch die Kugelfunktionen umfasse. Das geschieht in der vorliegenden Abhandlung. Die Beweise beruhen wiederum auf dem \textit{Cauchy}schen Integralsatz, dann aber auch auf einer von \textit{Hadamard} herrührenden Verallgemeinerung dieses Satzes, die letzterer benutzt hatte, um den Zusammenhang zwischen den Singularitäten der Funktionen \(\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n},\sum_{n=0}^{\infty}b_{n}x^{n}\) und \(\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}b_{n}x^{n}\) festzustellen. Zum Schluß\ wird eine Vermutung über die Möglichkeit gewisser Null-Entwicklungen bewiesen, die \textit{Faber} in der ersten Abhandlung geäußert hatte (wobei sich ein Zusammenhang mit früheren Untersuchungen von \textit{Pincherle} herausstellt); endlich wird eine Anwendung der allgemeinen Ergebnisse auf die \textit{Legendre}schen Polynome gegeben.