Sur quelques propriétés fondamentales des fonctions sphériques. (Q1494088)

Die Arbeit betrifft die vom Verf. eingeführten ``metaphärischen Funktionen'' \(K^{\nu,\varrho}(x)\) [vgl. F. d. M. 37, 471, 1906, JFM 37.0471.01], von denen die in den vorhergehenden Referaten behandelten (JFM 38.0484.01, JFM 38.0484.02, JFM 38.0485.01) ``ultrasphärischen Funktionen'' \(P^{\nu,n}(x)\) einen speziellen Fall bilden, den nämlich, in dem \(\varrho\) gleich ganzen Zahl \(n\) ist. Es werden folgende Resultate hergeleitet. Zuerst wird die lineare Differentialgleichung vierter Ordnung aufgestellt, der das Produkt \(K^{\nu,\varrho}(x)K_{1}^{\nu,\sigma}(x)\) genügt; für den Fall \(\varrho=\sigma\) reduziert sie sich auf eine Gleichung dritter Ordnung. Ferner wird gezeigt, daß\ für die \(K\) eine Rekursionsformel von der Form \[ (1) \quad K^{\nu,\varrho+n}(x)=A^{\nu,\varrho,n}(x)K^{\nu,\varrho}(x)-\frac{\varrho+2\nu-1}{\varrho+1}\;A^{\nu,\varrho+1,n-1}(x)K^{\nu,\varrho-1}(x) \] besteht, in der die \(A\) ganze Funktionen von \(x\) vom Grade \(n\), resp. \(n-1\) sind. Da die Gleichung (1) eine Verallgemeinerung einer \textit{Gauß}schen Formel darstellt, werden die \(A\) als \textit{Gauß}sche Polynome bezeichnet. Ihre explizite Darstellung würde sehr schwer sein. Indessen lassen sich gewisse Eigenschaften von ihnen angeben: so Rekursionsformeln, ferner eine lineare Differentialgleichung vierter Ordnung, der sie genügen. Diese Differentialgleichung geht in dem speziellen Falle der eigentlichen Kugelfunktionen in die Gleichung über, die \textit{F. Neumann} [Beiträge zur Theorie der Kugelfunktionen, 1878] für das Produkt zweier Kugelfunktionen aufgestellt hat. Endlich wird noch die Formel bewiesen: \[ (2) \quad \quad (\sigma-\varrho)(\sigma+\varrho+2r)\int(1-x^{2})^{\nu-\frac{1}{2}}K^{\nu,\varrho}(x)K_{1}^{\nu,\sigma}(x)dx \] \[ =(1-x^{2})^{\nu-\frac{1}{2}}[K_{1}^{\nu,\sigma}(x)\cdot D_{x}K^{\nu,\varrho}(x)-K^{\nu,\varrho}(x)\cdot D_{x}K^{\nu,\sigma}(x)], \] nebst Folgerungen daraus. Im zweiten Teil der Abhandlung wird die spezielle metasphärische Funktion \(Q^{\nu,\varrho}(x)\) [vgl. F. d. M. 37, 472, 1906, JFM 37.0471.01] durch ein Zylinderfunktionen enthaltendes bestimmtes Integral ausgedrückt: \[ (3) \quad \quad Q^{\nu,\varrho}(x)= \frac{2^{\nu}\sqrt{\pi^{3}}}{\varGamma(\nu)\cos(\nu\pi)} \int_{0}^{\infty}J^{\nu\varrho}(t)J^{\nu+\varrho}(t\xi)t^{\nu-1}dt, \] wo \[ \xi=x-\sqrt{x^{2}-1}, \quad x>1, \quad {\mathfrak R}(2\nu+3\varrho)>0, \quad{\mathfrak R}(\nu)<\tfrac{3}{2} \] ist. In analoger Weise läßt sich \(Q^{\nu,\varrho}(\sqrt{1-x^{2}})\) darstellen. Für den Fall, daß\ \(\varrho\) eine ganze Zahl ist, ergeben sich analoge Formeln, z. B.: \[ (4) \quad \int_{0}^{\infty}J^{\nu+n}(t)J^{\nu-\frac{1}{2}}(t\sin\vartheta) \frac{dt}{\sqrt{t}}=\frac{\varGamma(\nu)\varGamma\left (\frac{n+1}{2}\right )(\sin\vartheta)^{\nu-\frac{1}{2}}}{\sqrt{2\pi}\,\varGamma\left (\nu+\frac{n+1}{2}\right)}\;P^{\nu,n}(\cos\vartheta), \] und daraus folgen für \(\nu=\frac{1}{2}\) Integraldarstellungen der einfachen Kugelfunktionen, die zum Teil bekannt sind. Zum Schluß\ wird für \(Q^{\nu,\varrho}(x)\) noch das folgende Integral abgeleitet: \[ (5) \quad \quad Q^{\nu,\varrho}= \frac{\sqrt{\pi}\varGamma(\varrho+2\nu)}{\varGamma(\nu) \varGamma(\varrho+1)}\int_{0}^{\infty}\frac{(\mathfrak{Sh} \,u)^{2\nu-1}du}{(x+\mathfrak{Ch}\, u\sqrt{x^{2}-1})^{\varrho+2\nu}}\,. \] Darin bezeichnen \(\mathfrak{Sh}\) und \(\mathfrak{Ch}\) den hyperbolischen Sinus und Kosinus; ferner muß\ \(\mathfrak R (\nu)>0\), \(\mathfrak R (\varrho)>-1\) sein, während das Vorzeichen von \(\sqrt{x^{2}-1}\) so zu bestimmen ist, daß, falls \(x\) reell, \(x\) und \(\sqrt{x^{2}-1}\) das gleiche Zeichen haben.