Neue Begründung der ebenen Geometrie. (Q1494117)

Diese Arbeit bildet in gewisser Beziehung den Abschluß\ der Untersuchungen über die Begründung der ebenen Geometrie ohne Benutzung der auf den Raum, die Stetigkeit und die Parallelen bezüglichen Postulate. In den vorhergehenden Arbeiten war stets noch ein auf die Parallelen bezügliches Postulat benutzt, und zwar von \textit{Hilbert} in der ``Festschrift'' (F. d. M. 30, 424, 1899, JFM 30.0424.01) das euklidische Postulat, in der Arbeit Math. Ann. 57 (F. d. M. 34, 525, 1903, JFM 34.0525.01) das Axiom von der Existenz der \textit{Bolyai}schen Parallelen, von \textit{Hessenberg} (F. d. M. 36, 583 ff., 1905, JFM 36.0583.02) das Axiom vom Schneiden je zweier Geraden. Keine solche Forderung wird inder vorliegenden Arbeit benutzt. Verf. leitet der Spiegelung ab, und zwar führt er zunächst die idealen Punkte und Geraden ein und beweist dann den \textit{Pascal}schen Satz über das einem Geradenpaar eingeschriebene Sechseck. da nun nach \textit{Hessenberg} (F. d. M. 36, 583, 1905, JFM 36.0583.02) der \textit{Desargues}sche Satz aus dem \textit{Pascal}schen direkt folgt, so ist mit jenem Resultat die Möglichkeit der Einordnung der vorgelegten ebenen Geometrie in ein räumliches System nachgewiesen und ihr Aufbau auf Grund der bereits vorliegenden resultate erledigt. Zum Schlusse wird noch ein einfaches System von Axiomen aufgestellt, das zur Ableitung der obigen Resultate genügt. Es tritt besonders hervor, daß\ in bezug auf die Anordnung bloß\ vorausgesetzt zu werden braucht, daß\ die Mittelpunkte der Seiten eines Dreiecks nicht auf \textit{einer} Geraden liegen.