Parallélisme et translation rectiligne. (Q1494159)

Durch experimentelle Verifikation mittels Lineals und Schiebdreiecks wird das Axiom begründet, daß\ bei einer geradlinigen Transformation eines ebenen Systems in einer festen Ebene -- d. h. einer Bewegung, bei der eine bestimmte Strecke des Systems in einer Geraden der Ebene verschoben wird -- jeder Punkt des Systems eine Gerade beschreibt. Daraus folgt der Satz: Wenn ein beweglicher Punkt sich in einer festen Ebene so bewegt, daß\ er immer denselben Abstand von einer Geraden \(\varDelta\) dieser Ebene behält, so beschreibt er eine gerade Linie \(D\), und das von irgend einem Punkte von \(D\) auf \(\varDelta\) gefällte Lot steht zugleich auf \(D\) senkrecht. Dieser Satz führt zur Definition des Rechtecks und zur Ableitung seiner Eigenschaften. Da das Rechteck durch eine Diagonale in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke geteilt wird, so kann man beweisen, daß\ die spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks komplementar sind. Da jedes Dreieck durch eine höhe inzwei rechtwinklige Dreiecke geteilt wird, so folgt durch zweimalige Anwendung jenes Ergebnisses der Satz von der Winkelsumme eines beliebigen Dreiecks. Darauf wird der Parallelismus folgendermaßen definiert: Eine Gerade \(D\) ist parallel zu einer Geraden \(\varDelta\), wenn die beiden Geraden in derselben Ebene liegen und alle Punkte der ersten denselben Abstand von der zweiten haben. Man zieht liecht die Folgerung, daß\ dann auch die zweite Gerade parallel zur ersten ist. Der Satz, daß\ zwei Gerade, die zu einer dritten parallel sind, auch untereinander parallel sind, führt zur der Folgerung: Wenn zwei parallele Gerade einen Punkt gemein haben, so fallen sie zusammen. Daraus wird weiter geschlossen: Durch einen Punkt außerhalb einer Geraden kann man stets eine und nur eine Parallele zu dieser Geraden ziehen. Aus dem Satze: Eine Gerade, die eine von zwei Parallelen schneidet usw. an Parallelen nebst Umkehrungen. Die Eigenschaften des Parallelogramms, der geradlinigen Translation und der Satz von der Zusammensetzung solcher Translationen bilden den letzten Abschnitt der Arbeit.