Beitrag zur Theorie der regulären Vielecke. (Q1494210)

Einem Kreise lassen sich bekanntlich \(\frac{1}{2}\varphi(n)\) regelmäßige \(n\)-Ecke einbeschrieben, wenn man mit \(\varphi(n)\) die Anzahl derjenigen Zahlen \(1,2,\dots,n-1\) bezeichnet, welche zu \(n\) relativ prim sind. Diese regelmäßigen \(n\)-Ecke sind alle bis auf eines Sternvielecke. Bezeichnet man als Flächeninhalt eines Sternvielecks den Inhalt seiner innersten Zelle oder seines Kerns, der ein regelmäßiges \(n\)-Eck mit demselben Mittelpunkte ist, so ergibt sich durch teils geometrische, teils zahlentheoretische Untersuchungen der Satz: Bezeichnet man die Summe der Flächenzahlen der dem Kreise eingeschriebenen \(\frac{1}{2}\varphi(n)\) regelmäßigen \(n\)-Ecke mit \(I_{n}\) und die Flächenzahl des umgeschriebenen regelmäßigen \(n\)-Ecks mit \(C_{n}\), so ist der Quotient \(I_{n}:C_{n}\) eine rationale Zahl und besitzt den Wert \(I_{n}:C_{n}=\frac{1}{4}(\varphi(n)+\varepsilon_{n})\). \(\varepsilon_{n}\) ist gleich Null, wenn \(n\) durch eine von 1 verschiedene Quadratzahl teilbar ist; andernfalls ist \(\varepsilon=\pm 1\), je nachdem die Anzahl der in \(n\) enthaltenen Primzahlen gerade oder ungerade ist. Für \(n=3\) ist \(\varphi(3)=2\), \(\varepsilon=-1\), \(I_{3}:C_{3}=1:4\). Für \(n=4\) ist \(\varphi(4)=2\), \(\varepsilon=0\), \(I_{4}:C_{4}=1:2\). Für und \(I_{n}=C_{n}\). Es ist also die Summe der Inhalte der beiden eingeschriebenen 8-, bzw. 12-Ecke gleich dem Inhalte des umgeschriebenen 8- oder 12-Ecks. Berechnet man die Flächenzahl eines Sternvielecks nach der von \textit{Jacobi} (J. für Math. 65, 173) angegebenen Regel, so gilt ferner der Satz: \[ C_{2p}\sum_{j=1}^{\frac{p-1}{2}}I_{p}^{(j)}=\frac{p^{2}}{2}\,, \] wo \(p\) die als Primzahl vorausgesetzte Seitenanzahl, \(I_{p}^{(j)}\) die Flächenzahl des \(j\)-Sternvieleckes und \(C_{2p}\) die Flächenzahl des umgeschriebenen regelmäßigen \(2p\)-Ecks bezeichnet. So ist z. B. \(I_{3}\cdot C_{6}=\frac{1}{2}\cdot 3^{2}\).