Über die Berechnung von sphärischen Dreiecken, in denen jede Seite und jeder Winkel einen rationalen Sinus und einen rationalen Kosinus besitzt. (Q1494244)

\textit{R. Hoppe} hatte (Arch. d. Math. u. Phys. (1) 61, 86-98, 1877) den Versuch unternommen, Tetraeder aufzufinden, bei denen die Kanten, die Inhalte der Begrenzungsdreiecke und das Volumen rationale Maßzahlen besitzen. Er ging hierbei von sphärischen Dreiecken aus, bei denen die Sinus und Kosinus aller Seiten und Winkel, mithin die Tangenten der halben Seiten und Winkel rational sind, und stellte auch einige Zahlenbeispiele hierfür auf. Offenbar angeregt durch \textit{Hoppes} Arbeit, hat \textit{F. Bessel} (Arch. (1) 65, 363-372, 1880) allgemeine partikulare Lösungen dieser letzteren Aufgabe abgeleitet, d. h. Lösungen, welche zwar nicht umfassend sind, wohl aber der willkürlichen Wahl der darin enthaltenen Parameter einen gewissen Grad von Allgemeinheit besitzen. Der Verf. der vorliegenden Abhandlung, welcher sich schon im dritten Bande seiner ``Auslese'' (Leipzig 1906) mit dieser Aufgabe von neuem auf und gelangt zu Resultaten, die zum Teil mit den \textit{Bessell}schen übereinstimmen. So sind die Lösungen am rechtwinkligen Dreieck, zum Teil wenigstens, schon in den \textit{Bessell}schen Resultaten enthalten; auch die S. 303 angegebene allgemeine Lösung, welche von zwei Parametern abhängt, findet sich bei \textit{Bessell} S. 365. Die beiden von \textit{Hoppe} und \textit{Bessel} beschrieben worden. Die von \textit{Schubert} ermittelten Lösungen enthalten \textit{einen} willkürlichen Parameter. Am Schluß\ weist Verf. darauf hin, daß\ Ref. (Arch. (3) 7, 179, 1904) ein Tetraeder der oben gekennzeichneten Art aufgestellt hat, während er, Verf., auf seinem Wege zu einem Tetraeder gelangt denn das von ihm mitgeteilte Tetraeder hat das Volumen Null, ist also zu einem ebenen Viereck ausgeartet.