Über die einer ebenen Kurve dritter Ordnung um- und einbeschriebenen Vielecke. (Q1494321)

Zwei Punktepaare \(ab,a'b'\) einer Kurve dritter Ordnung nennt Verf. gleichnetzig, wenn der Schnittpunkt der Geraden \(ab',a'b\) auf der Kurve liegt. Werden die Koordinaten der Punkte durch elliptische Funktionen eines Parameters dargestellt (es sei, wie üblich, die Wahl so getroffen, daß\ die Parameter dreier in einer Geraden gelegenen Punkte eine Summe \(\equiv 0\) ergeben), und werden die Punkte wie die zugehörigen Parameter bezeichnet, so stellt die Kongruenz \(a-b\equiv a'-b'\) die Bedingung für die Gleichnetzigkeit dar, und man kann alle zueinander gleichnetzigen Punktepaare zu einem ``Punktepaarsystem'' zusammenfassen, welches dann durch jene Differenz vollkommen charakterisiert ist. Sind \(A\) und \(B\) zwei Systeme mit den Differenzen \(\alpha,\beta\), so bezeichnet Verf. \(B\) als die \(n\)-te ``Unterordnung'' von \(A\), wenn \(\beta\equiv 2^{n}\cdot\alpha\) ist. Die geometrische Bedeutung des Begriffs ist leicht zu erkennen. Bildet man auf der Kurve, von einem beliebigen Punkte \(a_{0}\) ausgehend, die Punktfolge \(a_{0},a_{1},a_{2},\dots\) in der Weise, daß\ \(\overline{a_{i}a_{i+1}}\) Tangente in \(a_{i}\) ist, so ist zufolge der bezüglich der Parameterdarstellung gemachten Annahme \(a_{n}\equiv a_{0}(-2)^{n}\). Ist also \(a_{0}(1-(-2)^{n})\equiv 0\), so erhalten wir ein geschlossenes \(n\)-Eck, welches der Kurve ein- und umbeschrieben ist. Es kann aber, ohne daß\ nach \(n\) Schritten ein Schließen stattfindet, \(a_{n}a_{n-1}\) mit \(a_{0}a_{1}\) gleichnetzig sein. Dann wird aber, wie die Parameterdarstellung sofort erkennen läßt, \(a_{3n}\) mit \(a_{0}\) identisch, wir erhalten ein ``merkwürdiges \(3n\)-Eck''. Ist hingegen \(a_{n+1}a_{n}\) mit \(a_{0}a_{1}\) gleichnetzig, so wird \(a_{2n}\equiv a_{9}\), wir erhalten ein ``zentrales \(2n\)-Eck'', so genannt, weil die Geraden \(\overline{a_{i}a_{i+n}}\) sich alle in einem und demselben Kurvenpunkte schneiden. Verf. bestimmt die Anzahl der gewöhnlichen, merkwürdigen und zentralen \(n\)- (bezw. \(3n-\), \(2n-\)) Ecke, sowie die Anzahl der reellen unter ihnen. Das merkwürdige \(3n\)-Eck zeigt die Eigentümlichkeit, daß\ allemal die Ecken \(a_{k},a_{n+k},a_{2n+k+1}\) in einer Geraden: ``Doppeldiagonale'' liegen. Hier treffen die Untersuchungen des Verf. mit andern von \textit{Schoenflies} zusammen, der die Konfigurationen \(3n_{3}\) untersucht hat, die hier von den Doppeldiagonalen gebildet werden. Jede Seite eines der hier betrachteten Polygone gehört, wenn wir sie als Punktepaar auffassen, wobei der Berührungspunkt der erste Punkt sein soll, einem bestimmten Punktepaarsystem an. Beim zentralen \(2n\)-Eck sind die \(2n\) Systeme zwar alle verschieden, aber je zwei von ihnen, die gegenüberliegenden Seiten entsprechen, sind invers, d. h. die zugehörigen Differenzen haben entgegengesetzte Werte. (Der Verf. unterscheidet die beiden inversen Systeme nicht und hat sich dadurch die ganze Darstellung nicht wenig erschwert.) Beim merkwürdigen \(3n\)-Eck gehören je drei Seiten demselben System an, aber es kommen keine inversion vor. Beim gewöhnlichen \(n\)-Eck gehören zwei Seiten weder demselben, noch inversen vor. Beim gewöhnlichen \(n\)-Eck gehören derselben (inversen) ``Kategorie'' an, wenn ihre Seiten bzw. denselben (inversen) Kategorien angehören. Jede Kategorie, welche gewöhnliche \(n\)-Ecke oder merkwürdige \(3n\)-Ecke umfaßt, hat eine inverse, während die Kategorien der zentralen \(2n\)-Ecke zu sich selbst invers sind. Gehören zwei merkwürdige \(3n\)-Ecke \(a_{1}a_{2}\dots a_{3n}\); \(b_{1}b_{2}\dots b_{3n}\) inversen Kategorien an, so schneiden sich die Geraden \(a_{k}b_{l},a_{k+n}b_{l+n},a_{k+2n}b_{l+2n}\) allemal in demselben Punkt der Kurve. Dieser Satz sowie alle übrigen sind aus der Parameterdarstellung fast unmittelbar abzulesen. Wir erwähnen noch den einen: hat man ein zentrales \(2(2p+1)\)-Eck \(a_{1}a_{2}\dots\) und ein zentrales \(2(2q+1)\)-Eck \(b_{1}b_{2}\dots\) und verbindet man \(a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},\dots\), so bilden die dritten Schnittpunkte dieser Geraden mit der Kurve ein zentrales \(2s\)-Eck, wo \(s\) das kleinste gemeinsame Vielfache von \(2p+1\) und \(2q+1\) bezeichnet.