Over de Grondslagen der Wiskunde. (Q1494630)

Der Verf. teilt seine Arbeit über ``die Grundlagen der Mathematik'' in drei Abschnitte: I. ``Der Aufbau der Mathematik'', II. ``Mathematik und Erfahrung'', III. ``Mathematik und Logik''. I. Als einziges aprioristisch Gegebenes, als ``Ur-Intuition der Mathematik'' setzt der Verf. die Zeit-Intuition, anders ausgedrückt: die Möglichkeit des Zusammendenkens von zwei Dingen und infolgedessen von einer beliebigen endlichen Zahl von Einheiten, ``verbunden durch ein Dazwischenliegendes, das sich durch das Einschalten neuer Einheiten nie erschöpft'' (S. 8). In dieser Ur-Intuition treten das Diskrete und das Kontinuum gleichberechtigt und untrennbar auf. Nachdem gezeigt ist, wie sich die Arithmetik und Algebra aus dieser Ur-Intuition aufbauen lassen (S. 3-8), wird das Kontinuum meßbar gemacht durch eine darauf konstruierte Skala vom Ordnungstypus \(\eta\) (S. 9-11). Ausführlich wird sodann untersucht die \textit{zweigliedrige, kontinuierliche, uniforme} Gruppe auf dem meßbaren Kontinuum zwischen zwei aufeinander folgenden ihrer Doppelpunkte, und es wird in Hauptzügen der Beweis mitgeteilt, daß\ eine einzige invariante eingliedrige Untergruppe existiert, und daß\ eine Skala vom Ordnungstypus \(\eta\) konstruiert werden kann, welche die Operationen der invarianten Untergruppe als ``Additionen'', jene einer willkürlichen anderen eingliedrigen Untergruppe als die ``Multiplikationen'' erscheinen läßt. Durch Adjunktion von \(x'=\frac{1}{x}\) wird dann die \textit{projektive} Gruppe erhalten (S. 12-34). Einen Vergleich seiner Resultate mit denjenigen \textit{Lie}s gibt Verf. S. 35. Das Zusammennehmen mehrerer Kontinua ermöglicht jetzt den Aufbau der ``Geometrie'' oder vielmehr der verschiedenen Geometrien, welche der Reihe nach gruppentheoretisch charakterisiert und dem Gedankengange des Verf. eingepaßt werden (S. 35-76); insbesondere werden diesbezügliche Untersuchungen von \textit{Helmholtz, Lie, Hilbert} und \textit{Hamel} besprochen. Hervorgehoben werden mag noch der Paragraph: ``die möglichen Punktmengen'' (S. 62-67) mit dem Resultate: ``jede Menge auf dem Kontinuum, welche nicht abzählbar ist, hat die Mächtigkeit des Kontinuums'', womit das ``Kontinuumproblem'' als gelöst erscheint. II. Die Stellung der im I. Abschnitte aufgebauten reinen Mathematik gegenüber der Erfahrung will der Verf. angesehen haben als durchaus opportunistisch; es soll nämlich jede Naturerklärung ihre Berechtigung haben, soweit und nur soweit sie als mathematisches Bild einer Erscheinung zu trennen ist in einen ``essentiellen'' und einen ``zufälligen'' Teil, von denen die Messungsresultate der Erfahrung sind. Es kann in diesem Sinne ``Objektivität'' einer physischen Größe nur bedeuten: Invarianz bei der üblichen mathematischen Interpretation einer wichtigen Gruppe von Erscheinungen; je ausgedehnter diese Gruppe ist, desto eher wird man solche Objektivität anerkennen; als Beispiele gelten: Masse, Zeitmaß, physischer dreidimensionaler Raum. Einen notwendigen, aprioristischen Charakter bekommen solche Begriffe aber nie: \textit{das einzige aprioristische Element der Wissenschaft ist die intuitive Zeit} (S. 81-99). Aus diesem Gesichtspunkte unterwirft Verf. nun \textit{Russells} ``Foundations of Geometry'' einer eingehenden Kritik (S. 99-121); seine Resultate faßt er zusammen im nachstehenden Schema. \textit{Untrennbar verbunden mit der äußeren Erfahrung ist}: bei \textit{Kant}: der euklidische dreidimensionale Raum und die ungemessene Zeit; bei \textit{Russell}: der euklidische dreidimensionale Raum und die meßbare Zeitkoordinate; beim Verf.: nichts. \textit{Notwendig tritt auf im mathematischen Receptaculum der Erfahrung}: a) \textit{Auf Grund der Organisation des menschlichen Intellektes}: bei \textit{Kant}: der euklidische dreidimensionale Raum und die ungemessene Zeit; bei \textit{Russell}: der projektive Raum, die freie Beweglichkeit im Raume und die meßbare Zeitkoordinate; beim Verf.: die Ur-Intuition der Mathematik oder Zeit-Intuition. b) \textit{Auf Grund der Erfahrung}: bei \textit{Kant}: nichts; \textit{Russell}: die Dreidimensionalität des Raumes und das Parallenaxiom von \textit{Euklid}; beim Verf.: nichts. III. Es wurzelt dieser Abschnitt in der vom Verf. selbst als anscheinend paradoxal bezeichneten, jedoch mit äußerster Konsequenz nach allen Seiten hin verteidigten Grundansicht, daß\ die Mathematik unabhängig ist von der Logik, diese aber abhängig von jener. Zur Mathematik aber gehört, und gehört nur, das im I. Abschnitte aus der Ur-Intuition Aufgebaute; es ist also ebenso unmöglich, diese Mathematik aus Axiomen logisch herzuleiten -- da diese Axiome und diese logischen Figuren nur mathematisches Bauwerk sprachlich begleiten können --, als dieser Mathematik durch logische Methoden neue Gebiete hinzuzufüngen -- da der weitergeführte sprachliche Bau im voraus zu mathematischer Sinnlosigkeit verurteilt ist (S. 125-132). Von diesem Standpunkte behandelt Verf. nun: 1. die Fundierung der Mathematik auf Axiome (die ``Verbesserung'' des Euklid) (S. 133-142); 2. die Theorie der transfiniten Zahlen von \textit{Cantor} (S. 142-159); 3. die Logistik von \textit{Peano-Russell} (S. 159-169); 4. die logischen Grundlagen der Mathematik nach \textit{Hilberts} Heidelberger Vortrag (S. 169-173). In allen diesen Punkten muß\ nun, wie ausführlich dargetan wird, auf Unzulänglichkeit der Methoden, bzw. Wertlosigkeit der Resultate geschlossen werden. In der Mengenlehre werden vom Verf. nur drei unendliche Mächtigkeiten zugelassen; vom Wohlordnungsbeweise, vom \textit{Bernstein}schen Theoreme und von der transfiniten Potenzierung wird die Unzulänglichkeit hergeleitet; die Paradoxien werden nicht anerkannt. Bei der Diskussion der axiomatischen Begründung wird hervorgehoben, daß\ die Widerspruchslosigkeit eines Axiomensystems noch nicht die Möglichkeit seiner mathematischen Verwirklichung mit sich bringt. Auf S. 169 lesen wir: ``die Logistik kann nichts lehren über die Grundlagen der Mathematik, weil sie unwiderruflich von ihr getrennt bleibt; sie hat im Gegenteil, um eine Existenz für sich zu behaupten, d. h. sich vor Widersprüchen zu bewahren, alle ihre eigenen speziellen Prinzipien zu verwerfen und sich darauf zu beschränken, eine getreue, maschinale, stenographische Kopie zu sein von der \textit{Sprache der Mathematik}, welche \textit{selbst keine Mathematik ist}, sondern nur ein mangelhaftes Hülfsmittel der Menschen, um einander Mathematik mitzuteilen und ihr Gedächtnis für Mathematik zu stützen.'' Da die Logistik und der Cantorismus auch von seiten \textit{Poincaré}s scharf kritisiert worden sind, betont Verf. zum Schlusse noch den großen Unterschied zwischen dessen Ansichten und seinen eigenen (S. 176-177). Ref. hat nur eine möglichst objektive Wiedergabe des Sinnes des Originals angestrebt und verzichtet hier auf Stellungnahme oder Kritik.